2013-重庆卷理-02 单-全称命题与特称命题的否定

本题导读

本题考查常用逻辑用语，以及全称量词与存在量词。

📌【题干】

Question

（2013年重庆卷(理)） 命题“对任意 $x\in R$，都有 $x^2\ge 0$”的否定为()

A. 对任意 $x\in R$，使得 $x^2<0$　　　　B. 不存在 $x\in R$，使得 $x^2<0$

C. 存在 $x_0\in R$，都有 $x_0^2\ge 0$　　　　　D. 存在 $x_0\in R$，使得 $x_0^2<0$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 识别命题类型：原命题是一个全称命题，形式为 “$\forall x\in M,p(x)$”。
2. 应用否定规则：全称命题的否定是特称命题。
   • 规则：将全称量词“对任意（$\forall$）”改为存在量词“存在（$\exists$）”。
   • 同时将结论 $p(x)$ 改为其否定形式 $\neg p(x)$。
3. 代入具体内容：
   • “对任意 $x\in R$” $\to$ “存在 $x_0\in R$”。
   • “$x^2\ge 0$” $\to$ “$x^2<0$”。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

根据数学逻辑规则，全称命题的否定转换如下： $\neg [\forall x\in R,p(x)]⟺\exists x_0\in R,\neg p(x_0)$

原命题内容：

• 量词：对任意 $x\in R$
• 结论：$x^2\ge 0$

否定形式：

• 量词改为：存在 $x_0\in R$
• 结论改为：$x_0^2<0$（注意：$\ge$ 的否定是 $<$）

组合得到：存在 $x_0\in R$，使得 $x_0^2<0$。

故选：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：全称命题与特称命题的对立关系。

核心方法：“改量词，否结论”。这是一个机械化的操作流程，不需要判断命题的真假。

避坑指南：- 不要只否定量词而忘了否定结论（如 C 选项）。 - 不要只否定结论而忘了改量词（如 A 选项）。 - 注意不等号的否定：$\ge$ 对应 $<$；$>$ 对应 $\le$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：真值表、充分必要条件、命题的逆否命题。

结论推广：特称命题 “$\exists x_0\in M,p(x_0)$” 的否定是全称命题 “$\forall x\in M,\neg p(x)$”。

方法推广：在判断这类题目时，可以先在选项中排除量词类型不符合的，再检查结论的否定是否正确。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2013-四川卷文-04 单-全称命题否定
• 2015-湖北卷文-03 单-命题否定
• 2014-福建卷文-05 单-命题否定