2013-四川卷文-06 单-三角函数图象定参

本题导读

本题考查正弦型函数的图象，以及由图象求解析式。

📌【题干】

Question

（2013年四川卷(文)） 函数 $f(x)=2\sin (\omega x+\phi )$（$\omega >0$，$-\frac{\pi }{2}<\phi <\frac{\pi }{2}$）的部分图象如图所示，则 $\omega$，$\phi$ 的值分别是()

A. $2$，$-\frac{\pi }{3}$　　　　　B. $2$，$-\frac{\pi }{6}$　　　　　C. $4$，$-\frac{\pi }{6}$　　　　　D. $4$，$\frac{\pi }{3}$

🔍【思路分析】

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1. $\frac{T}{2}=\frac{11\pi }{12}-\frac{5\pi }{12}=\frac{\pi }{2}$ → $T=\pi$ → $\omega =\frac{2\pi }{\pi }=2$。
2. $2\times \frac{5\pi }{12}+\phi =\frac{\pi }{2}+2k\pi$，取 $k=0$ → $\phi =\frac{\pi }{2}-\frac{5\pi }{6}=-\frac{\pi }{3}$。
3. 故选 A

✅【答案】

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（A）

✍【详细解析】

Abstract

第一步：定 $\omega$。 图中相邻的最大值点与最小值点横坐标分别为 $\frac{5\pi }{12}$ 与 $\frac{11\pi }{12}$，相距半个周期： $\frac{T}{2}=\frac{11\pi }{12}-\frac{5\pi }{12}=\frac{\pi }{2}\Rightarrow T=\pi \Rightarrow \omega =\frac{2\pi }{T}=2.$ 第二步：定 $\phi$。 在最大值点 $x=\frac{5\pi }{12}$ 处 $2\times \frac{5\pi }{12}+\phi =\frac{\pi }{2}+2k\pi ,$ 即 $\phi =-\frac{\pi }{3}+2k\pi$．由 $-\frac{\pi }{2}<\phi <\frac{\pi }{2}$ 取 $k=0$，得 $\phi =-\frac{\pi }{3}$。 故 $\omega =2$，$\phi =-\frac{\pi }{3}$，选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：由图象求 $\omega$ 与 $\phi$

核心方法：$\frac{T}{2}=\frac{11\pi }{12}-\frac{5\pi }{12}=\frac{\pi }{2}$ → $T=\pi$ → $\omega =2$；$2\times \frac{5\pi }{12}+\phi =\frac{\pi }{2}$ → $\phi =-\frac{\pi }{3}$ → A

避坑指南：最大值点代入时右端是 $\frac{\pi }{2}+2k\pi$；由 $-\frac{\pi }{2}<\phi <\frac{\pi }{2}$ 取 $k=0$ 才得 $-\frac{\pi }{3}$；半周期算错（当成整周期）会误选 C、D。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：正弦型函数图象与参数确定。

结论推广：半周期定 $\omega$；最值点定 $\phi$。

方法推广：读最值点横坐标 → 定 $T$ 与 $\omega$ → 代最值点解 $\phi$ → 用范围定 $k$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2013-大纲卷文-09 单-三角函数图象
• 2014-北京卷文-16 解-三角函数图象
• 2014-四川卷文-03 单-图象平移