2013-四川卷文-15 填-距离和最小

本题导读

本题考查两点间的距离公式，以及两点间线段最短。

📌【题干】

Question

（2013年四川卷(文)） 在平面直角坐标系内，到点 $A(1,2)$，$B(1,5)$，$C(3,6)$，$D(7,-1)$ 的距离之和最小的点的坐标是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. $PA+PC⩾AC$，$PB+PD⩾BD$，取等当 $P$ 同时在线段 $AC$、$BD$ 上。
2. 直线 $AC$：$y=2x$；直线 $BD$：$y=6-x$。
3. 联立 $2x=6-x$ → $x=2$，$y=4$，交点 $(2,4)$ 在两线段内部 → $(2,4)$。

✅【答案】

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$(2,4)$

✍【详细解析】

Abstract

对任意点 $P$，由”两点之间线段最短”： $PA+PC⩾AC,PB+PD⩾BD,$ 相加得 $PA+PB+PC+PD⩾AC+BD.$ 要取等号，$P$ 必须同时落在线段 $AC$ 与线段 $BD$ 上，故只需求两线段的交点。 直线 $AC$ 过 $(1,2)$、$(3,6)$：$y=2x$；直线 $BD$ 过 $(1,5)$、$(7,-1)$：$y=6-x$。 联立 $2x=6-x$，得 $x=2$，$y=4$，且 $(2,4)$ 确在两线段内部（$x$ 坐标分别落在 $[1,3]$ 与 $[1,7]$ 内）。 故所求点为 $(2,4)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：两点间线段最短（配对放缩）

核心方法：$PA+PC⩾AC$，$PB+PD⩾BD$，同时取等需 $P$ 在两线段上 → 交点；$AC:y=2x$ 与 $BD:y=6-x$ 交于 $(2,4)$

避坑指南：必须交叉配对（$A$ 配 $C$、$B$ 配 $D$）才可能同时取等：$A(1,2),C(3,6)$ 恰在 $y=2x$ 上，$B(1,5),D(7,-1)$ 恰在 $y=6-x$ 上，两线段相交是本题设计的关键；按 $AB$、$CD$ 配对则两线段平行（都竖直），取不到等号。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：两点间距离与线段最短原理。

结论推广：三角不等式配对；两线段求交点。

方法推广：交叉配对 → 两次放缩 → 取等条件定交点 → 解方程组。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 16.04 距离公式汇总

类题演练 (Links)

• 2013-湖南卷文-08 单-向量模最值
• 2015-湖南卷文-09 单-向量和最值
• 2014-安徽卷文-09 单-绝对值最值