2013-湖南卷文-08 单-向量模最值

本题导读

本题考查平面向量的数量积，以及向量的模。

📌【题干】

Question

（2013年湖南卷(文)） 已知 $\vec{a}$，$\vec{b}$ 是单位向量，$\vec{a}\cdot \vec{b}=0$. 若向量 $\vec{c}$ 满足 $|\vec{c}-\vec{a}-\vec{b}|=1$，则 $|\vec{c}|$ 的最大值为()

A. $\sqrt{2}-1$　　　　　　B. $\sqrt{2}$　　　　　　C. $\sqrt{2}+1$　　　　　　D. $\sqrt{2}+2$

🔍【思路分析】

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1. $|\vec{a}+\vec{b}{|}^2=1+1+0=2$ → $|\vec{a}+\vec{b}|=\sqrt{2}$。
2. 设 $\vec{m}=\vec{a}+\vec{b}$，条件 $|\vec{c}-\vec{m}|=1$：$\vec{c}$ 在以 $\vec{m}$ 为心、半径 $1$ 的圆上。
3. $|\vec{c}|⩽|\vec{m}|+1=\sqrt{2}+1$（$\vec{c}$ 与 $\vec{m}$ 同向时取等）。

✅【答案】

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（C）

✍【详细解析】

Abstract

由 $\vec{a}$，$\vec{b}$ 为相互垂直的单位向量： $|\vec{a}+\vec{b}{|}^2={\vec{a}}^2+2\vec{a}\cdot \vec{b}+{\vec{b}}^2=1+0+1=2,|\vec{a}+\vec{b}|=\sqrt{2}.$ 记 $\vec{m}=\vec{a}+\vec{b}$。条件 $|\vec{c}-\vec{m}|=1$ 说明 $\vec{c}$ 的终点位于以 $\vec{m}$ 的终点为圆心、半径为 $1$ 的圆上。 由向量模的三角不等式： $|\vec{c}|=|(\vec{c}-\vec{m})+\vec{m}|⩽|\vec{c}-\vec{m}|+|\vec{m}|=1+\sqrt{2},$ 当 $\vec{c}-\vec{m}$ 与 $\vec{m}$ 同向时取等号。 故 $|\vec{c}|$ 的最大值为 $\sqrt{2}+1$。 选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：平面向量的模的最值

核心方法：$|\vec{c}-\vec{a}-\vec{b}|=1$ → $\vec{c}$ 在以 $\vec{a}+\vec{b}$ 为圆心、半径 $1$ 的圆上 → $|\vec{c}|⩽|\vec{a}+\vec{b}|+1=\sqrt{2}+1$

避坑指南：把 $\vec{a}+\vec{b}$ 看成一个向量，条件即 $\vec{c}$ 到定点 $(\vec{a}+\vec{b})$ 的距离为 $1$——$|\vec{c}|$ 最大值走三角不等式 $|\vec{c}|⩽|\vec{a}+\vec{b}|+1$；设坐标硬算 $(x-\frac{\sqrt{2}}{2}{)}^2+(y-\frac{\sqrt{2}}{2}{)}^2=1$ 也可，但别忘记 $|\vec{a}+\vec{b}|=\sqrt{2}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：平面向量的模与三角不等式（几何轨迹视角，湖南卷选择题）。

结论推广：向量几何化（圆上动点）；模的三角不等式。

方法推广：识别圆轨迹 → 三角不等式放缩 → 取等条件。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 09.04 平面向量的坐标运算

类题演练 (Links)

• 2013-安徽卷文-13 填-向量模与夹角
• 2013-新课标I卷文-13 填-向量数量积
• 2013-新课标II卷文-14 填-向量数量积