2013-四川卷文-18 解-程序框图与概率

本题导读

本题考查程序框图的读图与模拟。核心在于条件—输出对照表计数、频率=频数÷试验次数的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年四川卷(文)） 某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量 $x$ 在 $1,2,3,\cdots ,24$ 这 $24$ 个整数中等可能随机产生.

(1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出 $y$ 的值为 $i$ 的概率 $P_i$（$i=1,2,3$）；

(2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行 $n$ 次后，统计记录了输出 $y$ 的值为 $i$（$i=1,2,3$）的频数.以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据. 甲的频数统计表（部分）

运行次数 $n$	输出 $y$ 的值为 $1$ 的频数	输出 $y$ 的值为 $2$ 的频数	输出 $y$ 的值为 $3$ 的频数
$30$	$14$	$6$	$10$
$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$
$2100$	$1027$	$376$	$697$

乙的频数统计表（部分）

运行次数 $n$	输出 $y$ 的值为 $1$ 的频数	输出 $y$ 的值为 $2$ 的频数	输出 $y$ 的值为 $3$ 的频数
$30$	$12$	$11$	$7$
$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$	$\cdots$
$2100$	$1051$	$696$	$353$

当 $n=2100$ 时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出 $y$ 的值为 $i$（$i=1,2,3$）的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 读框图：$x$ 为偶数 → 否 → $y=1$；为偶数 → 是 → 再判能否被 $3$ 整除，能 → $y=3$，不能 → $y=2$。
2. 在 $1\sim 24$ 中按三类计数：奇数 $12$ 个、偶且非 3 倍数 $8$ 个、偶且 3 的倍数 $4$ 个，得 $P_i$。
3. $n=2100$ 时用”频率 = 频数 ÷ $2100$“写出六个数。
4. 与理论概率 $(0.5,0.333,0.167)$ 逐项比较，越接近者越符合算法要求。

✅【答案】

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(1)$P_1=\frac{1}{2}$，$P_2=\frac{1}{3}$，$P_3=\frac{1}{6}$；(2)甲：$\frac{1027}{2100},\frac{376}{2100},\frac{697}{2100}$；乙：$\frac{1051}{2100},\frac{696}{2100},\frac{353}{2100}$；乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大

✍【详细解析】

Abstract

（1）输入的 $x$ 取奇数时，程序判断”$x$ 为偶数”为否，输出 $y=1$。$1$ 到 $24$ 中奇数有 $12$ 个，故 $P_1=\frac{12}{24}=\frac{1}{2}.$ $x$ 取偶数且能被 $3$ 整除时输出 $y=3$，这样的数为 $6,12,18,24$ 共 $4$ 个，故 $P_3=\frac{4}{24}=\frac{1}{6}.$ 其余偶数共 $12-4=8$ 个，输出 $y=2$，故 $P_2=\frac{8}{24}=\frac{1}{3}.$ （2）当 $n=2100$ 时，甲所编程序输出 $y$ 为 $1,2,3$ 的频率依次为 $\frac{1027}{2100},\frac{376}{2100}=\frac{94}{525},\frac{697}{2100};$ 乙所编程序输出 $y$ 为 $1,2,3$ 的频率依次为 $\frac{1051}{2100},\frac{696}{2100}=\frac{58}{175},\frac{353}{2100}.$ 按算法，理论概率应满足 $P_1:P_2:P_3=\frac{1}{2}:\frac{1}{3}:\frac{1}{6}=3:2:1$。 乙的三个频率分别约为 $0.5005,0.3314,0.1681$，与理论值 $0.5,0.333,0.167$ 都很接近，且三者的比约为 $3:2:1$； 甲的后两个频率分别约为 $0.1790,0.3319$，与理论值 $\frac{1}{3},\frac{1}{6}$ 明显不符（二者恰好互换，说明其分支逻辑写反）。 因此乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：程序框图的分类计数与用频率估计概率

核心方法：框图逻辑：$x$ 非偶数 → $y=1$；偶数且不能被 $3$ 整除 → $y=2$；偶数且能被 $3$ 整除 → $y=3$。计数 $12,8,4$ → $P_1,P_2,P_3=\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{6}$；乙的三组频率与之最接近

避坑指南：“输出 $y=1$“接的是”$x$ 为偶数？“的否分支，即 $x$ 为奇数，别把 $y=1$ 误配给偶数；判断甲乙优劣要三组一起比——甲的后两组频率 $0.1790,0.3319$ 恰好与理论值 $\frac{1}{3},\frac{1}{6}$ 互换，说明其分支逻辑写反了

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：程序框图 + 用频率估计概率，是 2013 年四川卷对”算法与统计”的综合考查。

结论推广：凡”输入等可能取自 $1\sim n$“的框图题，先画一张”条件—输出”对照表再计数：本题三个分支互斥且完备，故概率即计数比 $12:8:4=3:2:1$。

方法推广：比较两个程序优劣时，把样本频率与理论概率逐项作差；若某程序的多组频率与理论值呈”互换”关系（如 $0.18$ 与 $0.33$ 对调），即可判定其分支逻辑有误。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型
• 14.01随机抽样、平均数与方差

类题演练 (Links)

• 2013-北京卷文-06 单-程序框图
• 2013-安徽卷文-03 单-程序框图
• 2013-天津卷文-15 解-古典概型与估计