2013-四川卷理-04 单-全称命题的否定

本题导读

本题考查常用逻辑用语，以及全称量词与存在量词。

📌【题干】

Question

（2013年四川卷(理)） 设 $x\in \mathbb{Z}$，集合 $A$ 是奇数集，集合 $B$ 是偶数集.若命题 $p:\forall x\in A,2x\in B$，则()

A. $\neg p:\exists x\in A,2x\notin B$　　　　　　　　　　　　　　　B. $\neg p:\forall x\notin A,2x\notin B$

C. $\neg p:\exists x\notin A,2x\in B$　　　　　　　　　　　　　　　D. $\neg p:\exists x\in A,2x\notin B$ (注：图片中 A 和 D 选项文字一致，通常此类题目考查的是量词与结论的精确匹配)

🔍【思路分析】

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1. 识别命题类型：命题 $p$ 是一个全称命题，含有全称量词“$\forall$”（对于任意的）。
2. 应用否定规则：全称命题 $p:\forall x\in M,P(x)$ 的否定为存在性命题 $\neg p:\exists x\in M,\neg P(x)$。
3. 操作步骤：
   • 将量词符号“$\forall$”改为“$\exists$”。
   • 保持变量的范围（限定集合 $A$）不变。
   • 对结论“$2x\in B$”进行否定，变为“$2x\notin B$”。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

第一步：分析原命题结构 原命题 $p$ 为：对于集合 $A$ 中的 任意 一个元素 $x$，都有 $2x$ 属于 集合 $B$。

第二步：执行否定操作

1. 量词转换：“任意”（$\forall$）的否定是“存在”（$\exists$）。
2. 范围保持：否定命题是在原有的前提范围内寻找反例，因此 “$x\in A$” 这一条件 不改变（不能改为 $x\notin A$）。
3. 结论否定：“属于”（$\in$）的否定是“不属于”（$\notin$）。

第三步：得出结论 综合以上变换，命题 $p$ 的否定 $\neg p$ 为： $\exists x\in A,2x\notin B$ 对比选项，选项 D（及部分印刷版本中的 A）符合逻辑推导。

故正确答案为：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：全称命题与存在性命题的对立关系。

核心方法：“量词改，结论反”。 - $\forall$ 变 $\exists$ - $\exists$ 变 $\forall$ - $\in$ 变 $\notin$ - $>$ 变 $\le$ 等。

避坑指南：- 很多同学容易错误地否定变量的范围（如将 $x\in A$ 变为 $x\notin A$），这是逻辑上的常见误区。否定命题只需证明在 原范围内 存在一个不满足条件的例子即可。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：- 命题的否定与否命题的区别（否命题是对条件和结论同时否定，且改变因果关系）。 - 常用逻辑联结词“且”、“或”的否定（“且”变“或”，“或”变“且”）。

结论推广：命题的否定（$\neg p$）与原命题（$p$）的真假性始终相反。

方法推广：“量词改，结论反”。 - $\forall$ 变 $\exists$ - $\exists$ 变 $\forall$ - $\in$ 变 $\notin$ - $>$ 变 $\le$ 等。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算
• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2013-四川卷文-04 单-全称命题否定
• 2015-湖北卷文-03 单-命题否定
• 2014-福建卷文-05 单-命题否定