2013-四川卷理-18 解-频数与频率

本题导读

本题考查频数与频率。核心在于分类计数法、频率估算概率法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年四川卷(理)） 某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量 $x$ 在 $1,2,3,\dots ,24$ 这 $24$ 个整数中等可能随机产生.

(1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出 $y$ 的值为 $i$ 的概率 $P_i$ ($i=1,2,3$)；

(2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行 $n$ 次后，统计记录了输出 $y$ 的值为 $i$ ($i=1,2,3$) 的频数.下表是 $n=2100$ 时两人的部分数据：

根据数据分别写出甲、乙所编程序输出 $y$ 的值为 $i$ 的频率，并判断哪位同学编写程序符合算法要求的可能性较大；

(3)按程序框图正确编写的程序运行 $3$ 次，求输出 $y$ 的值为 $2$ 的次数 $\xi$ 的分布列及数学期望.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析框图逻辑：

   • 第一层：若 $x$ 为奇数，输出 $y=1$。

   • 第二层：若 $x$ 为偶数，进入下一层判断。若 $x$ 不能被 $3$ 整除，输出 $y=2$。

   • 第三层：若 $x$ 为偶数且能被 $3$ 整除，输出 $y=3$。

2. 计算概率 $P_i$：

   • 找出 $1$ 到 $24$ 中满足上述各条件的整数个数，除以总数 $24$。

3. 频率与概率对比：

   • 计算甲、乙的各频率，看谁的频率更接近（Ⅰ）中算得的理论概率。

4. 求解随机变量 $\xi$：

   • $\xi$ 服从二项分布 $B(3,P_2)$。列出可能取值 $0,1,2,3$，利用公式 $P(\xi =k)=C_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k}$ 计算分布列。

✅【答案】

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乙同学

✍【详细解析】

Abstract

（Ⅰ）解：

变量 $x$ 有 $24$ 种可能。

• 输出 $y=1$：即 $x$ 为奇数，集合为 $\{1,3,5,\dots ,23\}$，共 $12$ 个。

  故 $P_1=\frac{12}{24}=\frac{1}{2}$。

• 输出 $y=3$：即 $x$ 为偶数且能被 $3$ 整除（即 $x$ 是 $6$ 的倍数），集合为 $\{6,12,18,24\}$，共 $4$ 个。

  故 $P_3=\frac{4}{24}=\frac{1}{6}$。

• 输出 $y=2$：即 $x$ 为偶数但不能被 $3$ 整除，剩余个数为 $24-12-4=8$ 个。

  故 $P_2=\frac{8}{24}=\frac{1}{3}$。

  所以输出 $y$ 的值为 $1,2,3$ 的概率分别为 $\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{6}$。

（Ⅱ）解：

当 $n=2100$ 时，甲、乙输出 $y=i$ 的频率如下：

• 甲：$f_1=\frac{1027}{2100}\approx 0.489,f_2=\frac{376}{2100}\approx 0.179,f_3=\frac{697}{2100}\approx 0.332$。

• 乙：$f_1=\frac{1051}{2100}\approx 0.500,f_2=\frac{696}{2100}\approx 0.331,f_3=\frac{353}{2100}\approx 0.168$。

  理论概率为 $(\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{6})\approx (0.5,0.333,0.167)$。

  对比可知，乙同学编写程序符合算法要求的可能性较大。

（Ⅲ）解：

由（Ⅰ）知，单次运行输出 $y=2$ 的概率 $p=\frac{1}{3}$。

$\xi$ 可能的取值为 $0,1,2,3$，且 $\xi \sim B(3,\frac{1}{3})$。

• $P(\xi =0)=C_3^0\times (\frac{1}{3}{)}^0\times (\frac{2}{3}{)}^3=\frac{8}{27}$

• $P(\xi =1)=C_3^1\times (\frac{1}{3}{)}^1\times (\frac{2}{3}{)}^2=\frac{4}{9}=\frac{12}{27}$

• $P(\xi =2)=C_3^2\times (\frac{1}{3}{)}^2\times (\frac{2}{3}{)}^1=\frac{2}{9}=\frac{6}{27}$

• $P(\xi =3)=C_3^3\times (\frac{1}{3}{)}^3\times (\frac{2}{3}{)}^0=\frac{1}{27}$

$\xi$ 的分布列为：

ξ	0	1	2	3
$P$	$\frac{8}{27}$	$\frac{12}{27}$	$\frac{6}{27}$	$\frac{1}{27}$

数学期望 $E\xi =np=3\times \frac{1}{3}=1$。

（或利用公式计算 $0\times \frac{8}{27}+1\times \frac{12}{27}+2\times \frac{6}{27}+3\times \frac{1}{27}=1$）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：理解嵌套选择结构的互斥性；频率随样本量增大趋近于概率。

核心方法：“分类枚举”。处理框图题目时，将 $x$ 的全集划分为几个互不相容的子集，确保不重不漏。

避坑指南：- 注意框图中的“是”与“否”分支，第二层判断“能被 3 整除”的“否”路径对应 $y=2$。 - 分布列必须列表，且所有概率之和必须等于 $1$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：互斥事件、伯努利试验、条件分支逻辑。

结论推广：二项分布的期望公式 $E\xi =np$ 和方差公式 $D\xi =np(1-p)$ 在解答题中可直接用于验证。

方法推广：处理此类“谁更接近算法”的问题，即考查大数定律的直观应用。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 08.01 函数图象变换、模型与零点
• 14.01随机抽样、平均数与方差
• 23.04 二项分布与超几何分布

类题演练 (Links)

• 2013-湖南卷文-18 解-频数均值概率