2013-湖南卷文-18 解-频数均值概率

本题导读

本题考查用样本估计总体。核心在于分类计数、加权平均的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年湖南卷(文)） 某人在如图所示的直角边长为 $4$ 米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物. 根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量 $Y$（单位：kg）与它的”相近”作物株数 $X$ 之间的关系如下表所示：

$X$	$1$	$2$	$3$	$4$
$Y$	$51$	$48$	$45$	$42$

这里，两株作物”相近”是指它们之间的直线距离不超过 $1$ 米.

(1)完成下表，并求所种作物的平均年收获量；

$Y$	$51$	$48$	$45$	$42$
频数	$2$

(2)在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为 $48$ kg 的概率.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 总株数 $1+2+3+4+5=15$；“相近”株数为 $1,2,3,4$ 的作物分别有 $2,4,6,3$ 株。
2. 均值 $=\frac{51\times 2+48\times 4+45\times 6+42\times 3}{15}=\frac{690}{15}=46$ kg。
3. $P(Y⩾48)=P(Y=51)+P(Y=48)=\frac{2}{15}+\frac{4}{15}=\frac{2}{5}$。

✅【答案】

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(1)频数为 $2$，$4$，$6$，$3$；平均年收获量为 $46$ kg；(2)$P=\frac{2}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）三角形地块上的格点数为 $1+2+3+4+5=15$，即所种作物共 $15$ 株。 逐一检验每株作物的”相近”（距离 $⩽1$ 米）作物株数：为 $1$ 的有 $2$ 株，为 $2$ 的有 $4$ 株，为 $3$ 的有 $6$ 株，为 $4$ 的有 $3$ 株。由 $X$ 与 $Y$ 的对应关系得频数表：

$Y$	$51$	$48$	$45$	$42$
频数	$2$	$4$	$6$	$3$

平均年收获量为 $\frac{51\times 2+48\times 4+45\times 6+42\times 3}{15}=\frac{102+192+270+126}{15}=\frac{690}{15}=46(\text{kg}).$ （2）由（1）： $P(Y=51)=\frac{2}{15},P(Y=48)=\frac{4}{15}.$ 故随机选取一株，其年收获量至少为 $48$ kg 的概率为 $P(Y⩾48)=\frac{2}{15}+\frac{4}{15}=\frac{2}{5}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：频数分布、平均数与古典概型

核心方法：总株数 $1+2+3+4+5=15$；频数 $Y=51:2,48:4,45:6,42:3$；均值 $=\frac{690}{15}=46$；$P(Y⩾48)=\frac{2+4}{15}=\frac{2}{5}$

避坑指南：“相近”=$\frac{690}{15}=46$；$P(Y⩾48)$ 是”至少”问题：$P(Y=51)+P(Y=48)=\frac{2}{15}+\frac{4}{15}=\frac{2}{5}$；别把 $P(Y⩾48)$ 误当 $P(Y>48)$ 把 48 的 4 株漏掉。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：统计与古典概型（频数统计 + 期望式平均，湖南卷解答题）。

结论推广：分类计数频数；加权平均；古典概型。

方法推广：数各”相近株数”的频数 → 加权平均 → 用频数比求概率。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 14.01随机抽样、平均数与方差
• 15.01 古典概型

类题演练 (Links)

• 2013-安徽卷文-17 解-茎叶图与平均数
• 2013-广东卷文-17 解-分层抽样与古典概型
• 2013-北京卷文-16 解-空气质量概率