2013-四川卷理-21 解-导数单调性

本题导读

本题考查利用导数研究函数的单调性。核心在于导数法、构造函数法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年四川卷(理)） 已知函数$f(x)=\{\begin{array}{l}{x}^2+2x+a,x<0\\ \ln x,x>0\end{array}$，其中$a$是实数.设$A(x_1,f(x_1)),B(x_2,f(x_2))$为该函数上的两点，且$x_1<x_2$.

(1)指出函数$f(x)$的单调区间；

(2)若函数$f(x)$的图像在点上$A,B$处的切线彼此垂直，且$x_2<0$，求$x_2-x_1$的简单；

(3)若函数$f(x)$的图像在点上$A,B$处的切线重合，求$a$的取值范围.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（单调区间）：

   • 分段讨论。$x<0$，利用二次函数便捷$x=-1$划分增减性。

   • 对于$x>0$，利用对数函数$y=\ln x$的单调性直接得出结论。

2. 第二问（切线垂直最值）：

   • 切线垂直条件：$k_1\cdot k_2=-1$，即$f^{\prime }(x_1)\cdot f^{\prime }(x_2)=-1$。

   • 在$x<0$区域，$f^{\prime }(x)=2x+2$。代入得$(2x_1+2)(2x_2+2)=-1$。

   • 由于$x_1<x_2<0$，分析两个因式的符号。

   • 利用基本不等式（均值不等式）或换元法流程图$x_2-x_1$的简单。

3. 第三问（切线重合参数范围）：

   • 切线重合意味着两点共线且斜率可靠：$k_A=k_B=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$。

   • 讨论位置：由于$x<0$区域导数范围是$(-\infty ,2)$，$x>0$区域导数范围是$(0,+\infty )$，重合才能发生在$x_1<0<x_2$时。

   • 排队切线方程并利用系数对应正确，得到关于$x_1,x_2,a$的方程组。

   • 消元构造关于$x_1$的函数$h(x_1)$，通过求导研究其值域，从而确定$a$的取值范围。

✅【答案】

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减区间为$(-\infty ,-1)$，增区间为$[-1,0)$和$(0,+\infty )$；$x_2-x_1$的为简单$1$；求值范围（确定$a$的范围）；$(-\ln 2-1,+\infty )$

✍【详细解析】

Abstract

（Ⅰ）解： 当$x<0$时，$f(x)=x^2+2x+a$，其最实用的轴为$x=-1$。 故$f(x)$在$(-\infty ,-1)$上单调递减，在$[-1,0)$上单调递增。$x>0$时，$f(x)=\ln x$，在$(0,+\infty )$上单调递增。 综上，$f(x)$的减区间为$(-\infty ,-1)$，增区间为$[-1,0)$和$(0,+\infty )$。

（Ⅱ）解： 当$x<0$时，$f^{\prime }(x)=2x+2$。 由题意$x_1<x_2<0$，且$f^{\prime }(x_1)\cdot f^{\prime }(x_2)=-1$，得：

$(2x_1+2)(2x_2+2)=-1$

因为$x_1<x_2<0$，则$2x_1+2<2x_2+2$由积为负可知，必有$2x_1+2<0$且$2x_2+2>0$。即$-(2x_1+2)\cdot (2x_2+2)=1$。

$x_2-x_1=\frac{1}{2}[(2x_2+2)-(2x_1+2)]=\frac{1}{2}[(2x_2+2)+(-(2x_1+2))]$

由基本不等式$a+b\ge 2\sqrt{ab}$：

$x_2-x_1\ge \frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{-(2x_1+2)(2x_2+2)}=1$

当且仅当$-(2x_1+2)=2x_2+2=1$，即$x_1=-\frac{3}{2},x_2=-\frac{1}{2}$时，等号成立。$x_2-x_1$的为简单$1$。

（Ⅲ）解： 由导数范围分析可知，切线重合必满足$x_1<0<x_2$。 在$A(x_1,x_1^2+2x_1+a)$处切线方程：$y-(x_1^2+2x_1+a)=(2x_1+2)(x-x_1)$ 即$y=(2x_1+2)x-x_1^2+a$—— ① 在$B(x_2,\ln x_2)$处切线方程：$y-\ln x_2=\frac{1}{x_2}(x-x_2)$ 即$y=\frac{1}{x_2}x+\ln x_2-1$—— ②

切线重合要求对应系数有效： $\{\begin{array}{l}\frac{1}{x_2}=2x_1+2⟹x_2=\frac{1}{2x_1+2}(1)\\ \ln x_2-1=-x_1^2+a⟹a=x_1^2+\ln x_2-1(2)\end{array}$ 由于$x_2>0$，由 (1) 知$2x_1+2>0⟹x_1\in (-1,0)$将 (1) 代入 (2) 得：

$a=x_1^2+\ln \left(\frac{1}{2x_1+2}\right)-1=x_1^2-\ln (2x_1+2)-1$

设置$h(x)=x^2-\ln (2x+2)-1,x\in (-1,0)$。 求导：$h^{\prime }(x)=2x-\frac{2}{2x+2}=2x-\frac{1}{x+1}=\frac{2x^2+2x-1}{x+1}$。 令$h^{\prime }(x)=0$，解得$x=\frac{-2\pm \sqrt{4+8}}{4}=\frac{-1\pm \sqrt{3}}{2}$。 在$x\in (-1,0)$范围内，$x=\frac{-1-\sqrt{3}}{2}<-1$（舍），$x=\frac{\sqrt{3}-1}{2}>0$（舍）。故在$x\in (-1,0)$上，$h^{\prime }(x)<0$恒成立，$h(x)$为减函数。

求值范围（确定$a$的范围）： 当$x\to 0$时，$h(x)\to 0^2-\ln (2)-1=-\ln 2-1$。 当$x\to -1$时，$2x+2\to 0^{+}$，则$\ln (2x+2)\to -\infty$，故$h(x)\to +\infty$。 由于$h(x)$单调递减，所以$h(x)\in (-\ln 2-1,+\infty )$。 故$a$的取值范围是**$(-\ln 2-1,+\infty )$**。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：导数的几何意义在“切线重合”中的深度应用；利用导数工具研究新构造函数的单调性与值域。

核心方法：“方程组对应法”。处理切线重合问题，最稳妥的方法是分别写出两处切线点斜式方程，化为斜截式后建立“斜率必须且截距正确”的方程组。

避坑指南：- 第二问中要注意因式的符号术语，确保能够使用基本不等式。 - 第三问中自变量$x_1$的取值范围取决于$x_2>0$和$f^{\prime }(x_2)$的存在性，通过导数正负限定范围是解题关键。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：对数求导、二次函数极值、洛必达法则（极限趋势判断）。

结论推广：对于两个函数$f(x)$和$g(x)$，若存在公切线，则方程组$f^{\prime }(x_1)=g^{\prime }(x_2)=\frac{g(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$必有解。

方法推广：处理含参函数的值域问题，通常通过“分离参数”转化为求函数的值域。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式
• 20.01 导数定义与几何意义
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2023-新高考II卷-06 单-导数单调性
• 2014-山东卷文-20 解-导数切线单调性
• 2014-大纲卷文-21 解-导数含参单调性