2013-大纲卷理-01 单-集合的表示

本题导读

本题考查集合的含义与表示，以及集合的表示方法。

📌【题干】

Question

（2013年大纲卷(理)） 设集合 $A=\{1,2,3\}$，$B=\{4,5\}$，$M=\{x\mid x=a+b,a\in A,b\in B\}$，则 $M$ 中元素的个数为()

A. 3　　　　　　　B. 4　　　　　　　C. 5　　　　　　　D. 6

🔍【思路分析】

破题导航

1. 解析集合定义：集合 $M$ 的元素 $x$ 是由 $A$ 中的一个元素 $a$ 与 $B$ 中的一个元素 $b$ 相加得到的。
2. 列举所有可能的组合：
   • 遍历 $a\in \{1,2,3\}$ 和 $b\in \{4,5\}$，计算所有的 $a+b$。
3. 应用集合的互异性：集合中的元素必须各不相同。如果计算出的和有重复，在集合 $M$ 中只能算作一个元素。
4. 统计数量：数出不重复的结果总数。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：列举所有的加法结果

• 当 $a=1$ 时，$b$ 可取 $4,5$： $1+4=5$ $1+5=6$
• 当 $a=2$ 时，$b$ 可取 $4,5$： $2+4=6$ $2+5=7$
• 当 $a=3$ 时，$b$ 可取 $4,5$： $3+4=7$ $3+5=8$

第二步：整理并去重 我们得到的所有可能数值为：$\{5,6,6,7,7,8\}$。 根据集合元素的互异性，重复的数值只能保留一个。 整理得到集合 $M=\{5,6,7,8\}$。

第三步：确定元素个数 集合 $M$ 中共有 $4$ 个元素。

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：集合中元素的互异性。

核心方法：一一列举法。在处理此类小型集合运算时，手动列出所有情况是最稳妥的方法。

避坑指南：切忌直接用 $A$ 的元素个数乘以 $B$ 的元素个数（即 $3\times 2=6$）。高考中此类题目通常会设计“重复值”来陷阱。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：集合的确定性、无序性。

结论推广：若集合 $A,B$ 均为等差数列且公差相同，则 $a+b$ 产生的重复项会非常多。

方法推广：类似题目如 $M=\{x\mid x=a\cdot b\}$ 或 $M=\{x\mid x=a-b\}$，解题逻辑完全一致。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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