2013-大纲卷理-07 单-二项式系数与系数

本题导读

本题考查二项式定理，以及二项式系数与系数。

📌【题干】

Question

（2013年大纲卷(理)） $(1+x{)}^3(1+y{)}^4$ 的展开式中 $x^2{y}^2$ 的系数是()

A. 5　　　　　　　B. 8　　　　　　　C. 12　　　　　　　D. 18

🔍【思路分析】

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1. 结构分析：该表达式是两个二项式展开式的乘积。展开式中的每一项都是由第一个括号里的某一项与第二个括号里的某一项相乘得到的。
2. 锁定目标：我们要寻找 $x^2{y}^2$ 项。
   • $x^2$ 只能从 $(1+x{)}^3$ 的展开式中产生。
   • $y^2$ 只能从 $(1+y{)}^4$ 的展开式中产生。
3. 分步计算：
   • 第一步：求出 $(1+x{)}^3$ 展开式中 $x^2$ 项的系数。
   • 第二步：求出 $(1+y{)}^4$ 展开式中 $y^2$ 项的系数。
4. 得出结论：根据乘法原理，总系数等于这两部分系数的乘积。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求 $(1+x{)}^3$ 中 $x^2$ 的系数 根据二项式定理通项公式 $T_{r+1}=C_n^r{a}^{n-r}{b}^r$： 对于 $(1+x{)}^3$，令 $n=3,a=1,b=x$。 目标项为 $x^2$，则 $r=2$。 其系数为 $C_3^2=C_3^1=3$。

第二步：求 $(1+y{)}^4$ 中 $y^2$ 的系数 对于 $(1+y{)}^4$，令 $n=4,a=1,b=y$。 目标项为 $y^2$，则 $r=2$。 其系数为 $C_4^2=\frac{4\times 3}{2\times 1}=6$。

第三步：计算总系数 $x^2{y}^2$ 项是由第一个式子的 $3x^2$ 与第二个式子的 $6y^2$ 相乘得到的。 系数为 $3\times 6=18$。

故选：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项式展开式的特定项系数。

核心方法：“分治法”。当遇到两个相互独立的变量（如 $x$ 和 $y$）时，分别处理各自的二项式系数再合并，比整体展开要高效得多。

避坑指南：- 区分二项式系数与项的系数。在本题中，由于 $a,b$ 的系数均为 $1$，二者数值相等，但在复杂题目中需注意区分。 - 计算组合数 $C_n^r$ 时要准确，如 $C_4^2=6$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：多项式乘法、组合数的性质。

结论推广：对于 $(1+x{)}^m(1+y{)}^n$ 展开式中 $x^a{y}^b$ 的系数即为 $C_m^a\cdot C_n^b$。

方法推广：若题目求 $(1+x{)}^3(1+x{)}^4$ 即 $(1+x{)}^7$ 中 $x^2$ 的系数，则需考虑所有组合（如 $1\cdot x^2$，$x\cdot x$，$x^2\cdot 1$），或直接利用合并幂次后的公式。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结
• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2013-上海卷文-07 填-二项式系数
• 2014-大纲卷文-13 填-二项式定理系数
• 2026-天津卷-11 填-二项式定理