2026-天津卷-11 填-二项式定理

本题导读

本题考查二项式定理的基础应用。核心在于熟练掌握二项式展开式的通项公式，通过锁定目标项 $x^{3}y$ 中各变量的指数，确定组合数下标与常数项系数，进而计算出最终结果。

📌【题干】

Question

（2026年天津卷）在 $(x+2y{)}^4$ 的展开式中， $x^{3}y$ 的系数为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步：写出二项式展开式的通项公式：对于 $(a+b{)}^n$，其展开式的通项为 $T_{r+1}={\text{C}}_n^r{a}^{n-r}{b}^r$。
2. 第二步：代入已知量化简：本题中 $a=x$, $b=2y$, $n=4$，写出对应的通项表达式。
3. 第三步：锁定目标项并计算系数：将通项中的变量部分与目标项 $x^{3}y$ 的指数进行比对，求出 $r$ 的值，进而计算出对应的系数。

✅【答案】

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8

✍【详细解析】

Abstract

根据二项式定理， $(x+2y{)}^4$ 展开式的通项公式为： $T_{r+1}={\text{C}}_4^r\cdot x^{4-r}\cdot (2y{)}^r={\text{C}}_4^r\cdot 2^r\cdot x^{4-r}{y}^r$

目标项为 $x^{3}y$，即 $x^3{y}^1$。 比对通项公式中 $x$ 与 $y$ 的指数，令： $4-r=3\text{且}r=1⟹r=1$

将 $r=1$ 代入通项公式的系数部分，得到 $x^{3}y$ 的系数为： ${\text{C}}_4^1\cdot 2^1=4\times 2=8$

故答案为： 8。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二项式通项公式 $T_{r+1}={\text{C}}_n^r{a}^{n-r}{b}^r$ 的记忆与代数控算。
2. 核心方法：待定系数比对法。
3. 避坑指南：容易漏掉项中的常数因子。在处理二项式的第二项 $b=2y$ 时，必须将常数 2 作为一个整体参与幂次运算 $(2y{)}^r=2^r{y}^r$，很多学生容易误记为只对 $y$ 乘方而漏掉 $2^1$，导致错误算出系数为 4。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于高考天津卷填空题前半段的常规基础得分题，考查选择性必修第三册中“计数原理”模块的二项式定理基本功。
2. 结论推广：对于任意形如 $(A{x}^p+B{y}^q{)}^n$ 的二项式展开式，其通项公式中常数系数、 $x$ 的指数与 $y$ 的指数之间满足严格的线性依存关系。在面对多元或多项式嵌套（如三项式展开）时，利用多项式定理或将其拆分为双层二项式嵌套，是求解特定项系数的通用推广手段。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结
• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

• 1986-全国理-15 填-二项式的常数项
• 1988-全国卷理-05 单-二项式定理的指定项系数
• 1990-上海卷-08 填-二项式展开的系数