2013-安徽卷文-14 填-递推函数求值

本题导读

本题考查函数的递推关系，以及函数解析式的求法。

📌【题干】

Question

（2013年安徽卷(文)） 定义在 $\mathbf{R}$ 上的函数 $f(x)$ 满足 $f(x+1)=2f(x)$. 若当 $0⩽x⩽1$ 时，$f(x)=x(1-x)$，则当 $-1⩽x⩽0$ 时，$f(x)=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $x\in [-1,0]$ → $x+1\in [0,1]$ → $f(x+1)=(x+1)\left[1-(x+1)\right]=(x+1)(-x)$。
2. 由 $f(x+1)=2f(x)$：$f(x)=\frac{1}{2}f(x+1)=-\frac{x(x+1)}{2}$。

✅【答案】

点击查看答案

$-\frac{x(x+1)}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

当 $-1⩽x⩽0$ 时，$0⩽x+1⩽1$，故可代入已知解析式： $f(x+1)=(x+1)\left[1-(x+1)\right]=(x+1)(-x).$ 又由递推关系 $f(x+1)=2f(x)$，得 $f(x)=\frac{1}{2}f(x+1)$，所以 $f(x)=\frac{1}{2}(x+1)(-x)=-\frac{x(x+1)}{2}.$ （检验：$x=-\frac{1}{2}$ 时 $f\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\times \left(-\frac{1}{2}\right)\cdot \frac{1}{2}=-\frac{1}{8}$；直接算 $f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{4}=2f\left(-\frac{1}{2}\right)$ ✓。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：递推关系 f(x+1)=2f(x) 求解析式

核心方法：$-1⩽x⩽0$ 时 $x+1\in [0,1]$，$f(x+1)=(x+1)(-x)$，故 $f(x)=\frac{(x+1)(-x)}{2}=-\frac{x(x+1)}{2}$

避坑指南：递推式是”$x+1$ 处的值是 $x$ 处的 2 倍”——求左边区间要用 $f(x+1)=2f(x)$ 反解 $f(x)=\frac{1}{2}f(x+1)$，忘了除以 $2$ 就会错成 $-x(x+1)$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：函数的递推关系与解析式（安徽卷填空）。

结论推广：把目标区间平移进已知区间：$x\in [-1,0]\Rightarrow x+1\in [0,1]$。

方法推广：平移区间 → 套已知解析式 → 用递推反解。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念
• 19.07 一般数列的性质

类题演练 (Links)

• 2014-安徽卷文-14 填-奇函数周期
• 2014-大纲卷文-12 单-抽象函数周期
• 2014-大纲卷文-17 解-递推数列通项