2013-安徽卷理-09 单-数量积运算性质

本题导读

本题考查向量的数量积，以及数量积的运算性质。

📌【题干】

Question

（2013年安徽卷(理)） 在平面直角坐标系中，$O$ 是坐标原点，两定点 $A,B$ 满足 $|\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OB}|=\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=2$，则点集 $\{P\mid \overrightarrow{OP}=\lambda \overrightarrow{OA}+\mu \overrightarrow{OB},|\lambda |+|\mu |\le 1,\lambda ,\mu \in \mathbb{R}\}$ 所表示的区域的面积是()

A. $2\sqrt{2}$　　　　　　　B. $2\sqrt{3}$　　　　　　　C. $4\sqrt{2}$　　　　　　　D. $4\sqrt{3}$

🔍【思路分析】

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1. 分析基底关系：由 $|\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OB}|=2$ 且 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=2$，利用数量积公式 $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta$ 求出夹角 $\angle AOB$。
2. 识别几何区域：集合中 $|\lambda |+|\mu |\le 1$ 是经典的平面区域约束。
   • 当 $\lambda ,\mu \ge 0$ 时，$\lambda +\mu \le 1$ 表示以 $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}$ 为边的三角形区域。
   • 考虑正负号组合，该区域是由四个全等的三角形组成的菱形区域。
3. 计算面积：
   • 先求出一个基本三角形（或由 $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}$ 构成的平行四边形）的面积。
   • 根据区域的对称性汇总总面积。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

第一步：确定向量夹角与基本图形面积 已知 $|\overrightarrow{OA}|=2,|\overrightarrow{OB}|=2,\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=2$。 设 $\angle AOB=\theta$，则： $2\times 2\times \cos \theta =2⟹\cos \theta =\frac{1}{2}$ 因为 $\theta \in [0,\pi ]$，所以 $\theta =60^{\circ }$。 以 $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}$ 为邻边的平行四边形 $OACB$ 的面积为： $S_{\text{▱}}=|\overrightarrow{OA}|\cdot |\overrightarrow{OB}|\sin 60^{\circ }=2\times 2\times \frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$

第二步：分析区域图形 点集条件为 $\overrightarrow{OP}=\lambda \overrightarrow{OA}+\mu \overrightarrow{OB}$ 且 $|\lambda |+|\mu |\le 1$。 这是一个以原点为中心的对称区域：

• 四个顶点分别为：$\overrightarrow{OA}$ ($\lambda =1,\mu =0$), $\overrightarrow{OB}$ ($\lambda =0,\mu =1$), $-\overrightarrow{OA}$ ($\lambda =-1,\mu =0$), $-\overrightarrow{OB}$ ($\lambda =0,\mu =-1$)。
• 连接这四个顶点，构成的图形是一个以向量 $\overrightarrow{OA}$ 和 $\overrightarrow{OB}$ 为对角线的菱形（注意：这里的对角线长度均为 $2$，且夹角为 $60^{\circ }$）。

第三步：计算总面积 该菱形可以看作是由四个全等的直角三角形（在斜坐标系下看）或两个以 $2$ 为边长、夹角为 $120^{\circ }$（或 $60^{\circ }$）的等腰三角形组成。 更简单的方法：该菱形面积等于以 $\overrightarrow{OA}$ 和 $\overrightarrow{OB}$ 为邻边的平行四边形面积的 2 倍。 (修正：菱形顶点为 $A,B,A^{\prime },B^{\prime }$，其面积为 $2\times S_{△AOB}\times 2=2\times (\frac{1}{2}\times 2\times 2\times \sin 60^{\circ })\times 2=4\sqrt{3}$。)

具体计算： 单个象限区域（如 $\lambda ,\mu >0$）的面积为 $\frac{1}{2}{S}_{\text{▱}OACB}=\sqrt{3}$。 由于 $|\lambda |+|\mu |\le 1$ 包含四个象限的对称部分， 总面积 $S=4\times \sqrt{3}=4\sqrt{3}$。

故选：D。


💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量数量积与几何面积的结合；线性组合 $|\lambda |+|\mu |\le k$ 的几何形状（菱形）。

核心方法：“坐标化/基底化”。如果对向量不直观，可以设 $A(2,0),B(1,\sqrt{3})$，代入解析式转化为线性规划的面积问题。

避坑指南：不要把面积算成平行四边形的面积（那对应的是 $0\le \lambda \le 1,0\le \mu \le 1$）。一定要看清约束条件 $|\lambda |+|\mu |\le 1$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：线性规划、仿射变换下的面积比。

结论推广：若 $\overrightarrow{OP}=\lambda \vec{a}+\mu \vec{b}$ 且 $|\lambda |+|\mu |\le 1$，则区域面积 $S=2|\vec{a}\times \vec{b}|=2|\vec{a}||\vec{b}|\sin \theta$。

方法推广：常见的向量区域： - $0\le \lambda +\mu \le 1,\lambda ,\mu \ge 0⟹$ 三角形。 - $0\le \lambda \le 1,0\le \mu \le 1⟹$ 平行四边形。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 09.02 平面向量的线性运算
• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2026-新高考II卷-03 单-数量积
• 2026-天津卷-14 填-数量积
• 2023-新高考I卷-03 单-数量积