2013-山东卷文-21 解-导数含参单调比较

本题导读

本题考查利用导数研究函数的单调性。核心在于分子因式分解定根、最小值条件定的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年山东卷(文)） 已知函数 $f(x)=a{x}^2+bx-\ln x$（$a$，$b\in \mathbf{R}$）.

(1)设 $a⩾0$，求 $f(x)$ 的单调区间;

(2)设 $a>0$，且对任意 $x>0$，$f(x)⩾f(1)$，试比较 $\ln a$ 与 $-2b$ 的大小.

🔍【思路分析】

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1. $f^{\prime }(x)=2ax+b-\frac{1}{x}=\frac{2a{x}^2+bx-1}{x}$（$x>0$）。
2. $a=0$：$b⩽0$ 恒减；$b>0$ 减 $(0,\frac{1}{b})$ 增 $(\frac{1}{b},+\infty )$。$a>0$：正根 $x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2+8a}}{4a}$，减 $(0,x_2)$ 增 $(x_2,+\infty )$。
3. (2) $f^{\prime }(1)=0$ → $b=1-2a$；$-2b=4a-2$；令 $g(a)=2-4a+\ln a$，$g_{\max }=g\left(\frac{1}{4}\right)=1-\ln 4<0$ → $\ln a<4a-2=-2b$。

✅【答案】

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(1) 见解析；(2) $\ln a<-2b$

✍【详细解析】

Abstract

(1) $f(x)$ 的定义域为 $(0,+\infty )$， $f^{\prime }(x)=2ax+b-\frac{1}{x}=\frac{2a{x}^2+bx-1}{x}.$ 当 $a=0$ 时，$f^{\prime }(x)=\frac{bx-1}{x}$：

• 若 $b⩽0$，则 $bx-1<0$ 恒成立，$f(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递减；
• 若 $b>0$，由 $bx-1=0$ 得 $x=\frac{1}{b}$，$f(x)$ 在 $\left(0,\frac{1}{b}\right)$ 上单调递减，在 $\left(\frac{1}{b},+\infty \right)$ 上单调递增。 当 $a>0$ 时，由 $2a{x}^2+bx-1=0$ 得 $x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2+8a}}{4a},$ 其中负根 $<0$，正根 $x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2+8a}}{4a}>0$。故 $f(x)$ 在 $\left(0,x_2\right)$ 上单调递减，在 $\left(x_2,+\infty \right)$ 上单调递增。 (2) 由对任意 $x>0$，$f(x)⩾f(1)$，知 $f(x)$ 在 $x=1$ 处取得最小值，故 $f^{\prime }(1)=0$，即 $2a+b-1=0⟹b=1-2a,-2b=4a-2.$ 问题化为比较 $\ln a$ 与 $4a-2$。令 $g(x)=2-4x+\ln x$（$x>0$），则 $g^{\prime }(x)=\frac{1}{x}-4=\frac{1-4x}{x},$ 当 $0<x<\frac{1}{4}$ 时 $g^{\prime }(x)>0$，当 $x>\frac{1}{4}$ 时 $g^{\prime }(x)<0$，所以 $g(x)⩽g\left(\frac{1}{4}\right)=2-1+\ln \frac{1}{4}=1-\ln 4<0.$ 取 $x=a$：$g(a)=2-4a+\ln a<0$，即 $\ln a<4a-2=-2b$。 所以 $\ln a<-2b.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：导数含参单调区间与大小比较

核心方法：$f^{\prime }(x)=\frac{2a{x}^2+bx-1}{x}$：$a=0$ 按 $b$ 分段、$a>0$ 取正根 $x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2+8a}}{4a}$；(2) $f^{\prime }(1)=0$ → $b=1-2a$，构造 $g(a)=2-4a+\ln a$ 上界 $1-\ln 4<0$ → $\ln a<-2b$

避坑指南：“对任意 $x>0$，$f(x)⩾f(1)$“翻译成 $x=1$ 是最小值点 → $f^{\prime }(1)=0$ 是突破口；比较 $\ln a$ 与 $-2b$ 时把 $b=1-2a$ 代入化为单变量 $g(a)=2-4a+\ln a$，用最大值 $g\left(\frac{1}{4}\right)=1-\ln 4<0$ 一锤定音——不要试图分类讨论 $a$ 的范围。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：利用导数研究含参函数的单调性与不等式（山东卷导数解答题）。

结论推广：$f^{\prime }(x)=2ax+b-\frac{1}{x}$；含参二次因式的根 $x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2+8a}}{4a}$；$\left[\ln x-4x\right]$ 型函数 $g(x)=2-4x+\ln x$ 在 $x=\frac{1}{4}$ 处取最大值 $1-\ln 4<0$。

方法推广：导数大题两段：按参数分类写单调区间（分子二次因式 + 分母 $x$ 的符号）→ 恒成立条件给 $f^{\prime }(1)=0$，消参后构造新函数求最值比较大小。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2013-大纲卷文-21 解-导数单调性与恒成立
• 2013-新课标I卷文-20 解-导数单调性与极值