2011-广东卷文-19 解-导数含参单调

本题导读

本题考查含参数函数的单调性，以及导数零点的分类讨论（二次型分子）。

📌【题干】

Question

（2011年广东卷(文)） 设 $a>0$，讨论函数 $f(x)=\ln x+a(1-a)x^2-2(1-a)x$ 的单调性.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：$f^{\prime }(x)=\frac{g(x)}{x}$
2. 步骤2：$g(x)=2a(1-a)x^2-2(1-a)x+1$
3. 步骤3：按 $a$ 分三段：$0<a<\frac{1}{3}$、$\frac{1}{3}⩽a⩽1$、$a>1$

✅【答案】

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① 当 $0<a<\frac{1}{3}$ 时，$f(x)$ 在 $(0,x_1)$ 与 $(x_2,+\infty )$ 上单调递增，在 $(x_1,x_2)$ 上单调递减，其中 $x_1=\frac{1-\sqrt{\frac{1-3a}{1-a}}}{2a}$，$x_2=\frac{1+\sqrt{\frac{1-3a}{1-a}}}{2a}$

② 当 $\frac{1}{3}⩽a⩽1$ 时，$f(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递增

③ 当 $a>1$ 时，$f(x)$ 在 $(0,x_0)$ 上单调递增，在 $(x_0,+\infty )$ 上单调递减，其中 $x_0=\frac{1+\sqrt{\frac{3a-1}{a-1}}}{2a}$

✍【详细解析】

Abstract

定义域 $(0,+\infty )$。

$f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}+2a(1-a)x-2(1-a)=\frac{g(x)}{x}$，其中 $g(x)=2a(1-a)x^2-2(1-a)x+1$。$x>0$ 时 $f^{\prime }(x)$ 与 $g(x)$ 同号。

① $0<a<\frac{1}{3}$：此时 $1-a>0$ 且判别式 $4(1-a)(1-3a)>0$，$g$ 开口向上、两根均为正：

$x_1=\frac{(1-a)-\sqrt{(1-a)(1-3a)}}{2a(1-a)}=\frac{1-\sqrt{\frac{1-3a}{1-a}}}{2a}$，$x_2=\frac{1+\sqrt{\frac{1-3a}{1-a}}}{2a}$。

（$x_1+x_2=\frac{1}{a}>0$，$x_1{x}_2=\frac{1}{2a(1-a)}>0$，故两根均为正，且 $x_1<x_2$。）

$g(x)>0$ 于 $(0,x_1)\cup (x_2,+\infty )$，$g(x)<0$ 于 $(x_1,x_2)$，故 $f$ 在 $(0,x_1)$、$(x_2,+\infty )$ 增，在 $(x_1,x_2)$ 减。

② $a=\frac{1}{3}$：$g(x)={\left(\frac{2x}{3}-1\right)}^2⩾0$，$f^{\prime }(x)⩾0$（仅 $x=\frac{3}{2}$ 处取零），$f$ 在 $(0,+\infty )$ 单调递增。

③ $\frac{1}{3}<a⩽1$：若 $\frac{1}{3}<a<1$，$g$ 开口向上、判别式 $4(1-a)(1-3a)<0$，$g(x)>0$ 恒成立；若 $a=1$，$g(x)=1>0$。故 $f$ 在 $(0,+\infty )$ 单调递增。

④ $a>1$：$g(x)=-2a(a-1)x^2+2(a-1)x+1$，开口向下、$g(0)=1>0$，正半轴恰有一根

$x_0=\frac{1+\sqrt{\frac{3a-1}{a-1}}}{2a}$。

$0<x<x_0$ 时 $g(x)>0$，$x>x_0$ 时 $g(x)<0$，故 $f$ 在 $(0,x_0)$ 增，在 $(x_0,+\infty )$ 减。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：导数符号的二次式分析；参数分段（开口方向 × 判别式 × 根的位置）；单调性表述

核心方法：把 $f^{\prime }$ 通分成 $\frac{g(x)}{x}$ 后只看 $g$；按”开口方向（$a$ 与 $1$ 比较）× 判别式（$a$ 与 $\frac{1}{3}$ 比较）“分段，每段写清符号区间

避坑指南：分类要完整且互斥：临界值 $\frac{1}{3}$ 来自判别式为零（$g$ 退化为完全平方式，$f$ 仍增），$1$ 来自开口变号（$a=1$ 时 $g\equiv 1$），两处都要单独交代；$a>1$ 时开口向下，正半轴只有一个正根（另一根为负），根式写成 $\sqrt{\frac{3a-1}{a-1}}$ 的形式最稳。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：导数含参单调题与 2013-山东卷文-21、2014-大纲卷文-21、2013-新课标I卷文-20 同族。

结论推广：推广：$f^{\prime }$ 的分子为二次式时，分段标准是”开口方向 × $\Delta$ × 根的位置”的非空组合；本题 $a$ 同时出现在二次项与一次项系数中，两个临界值 $\frac{1}{3}$ 与 $1$ 分别来自 $\Delta =0$ 与开口变号。

方法推广：含参单调大题：通分集中分子 → 找临界参数值（$\Delta =0$、开口变号、根过轴）→ 按临界值排数轴分段 → 每段写符号区间与单调结论。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2013-山东卷文-21 解-导数含参单调比较
• 2014-大纲卷文-21 解-导数含参单调性
• 2013-新课标I卷文-20 解-导数单调性与极值