2013-山东卷理-05 单-图象变换

本题导读

本题考查三角函数的图象与性质，以及图象变换。

📌【题干】

Question

（2013年山东卷(理)） 函数 $y=\sin (2x+\varphi )$ 的图象沿 $x$ 轴向左平移 $\frac{\pi }{8}$ 个单位后，得到一个偶函数的图象，则 $\varphi$ 的一个可能的值为()

A. $\frac{3\pi }{4}$　　　　　　　B. $\frac{\pi }{4}$　　　　　　　C. $0$　　　　　　　D. $-\frac{\pi }{4}$

🔍【思路分析】

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1. 平移变换：按照“左加右减”原则，向左平移 $\frac{\pi }{8}$ 单位，需将解析式中的 $x$ 替换为 $(x+\frac{\pi }{8})$。
2. 偶函数性质：正弦型函数 $y=\sin (\omega x+\alpha )$ 成为偶函数，意味着其图象关于 $y$ 轴对称，此时初相 $\alpha$ 必须满足 $\alpha =k\pi +\frac{\pi }{2}$ ($k\in \mathbb{Z}$)。
3. 求解初相：联立平移后的相位表达式与偶函数条件，解出 $\varphi$ 的通解，比对选项得出结果。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求平移后的解析式。 将函数 $y=\sin (2x+\varphi )$ 的图象向左平移 $\frac{\pi }{8}$ 个单位，所得解析式为： $y=\sin [2(x+\frac{\pi }{8})+\varphi ]$ 整理得： $y=\sin (2x+\frac{\pi }{4}+\varphi )$

第二步：利用偶函数条件确定相位。 若 $y=\sin (2x+\frac{\pi }{4}+\varphi )$ 为偶函数，则其初相部分必须落在正弦曲线的最高点或最低点（即对称轴位置）： $\frac{\pi }{4}+\varphi =k\pi +\frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$ 解得： $\varphi =k\pi +\frac{\pi }{4},k\in \mathbb{Z}$

第三步：比对选项。 当 $k=0$ 时，$\varphi =\frac{\pi }{4}$。该值出现在选项 B 中。

故正确答案为：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角函数图象变换。注意“左加右减”是针对变量 $x$ 本身，而非针对整个相位 $2x+\varphi$。

核心方法：偶函数的图象关于 $y$ 轴对称。对于 $y=A\sin (\omega x+\varphi )$，若为偶函数，则 $f(0)=\pm A$；若为奇函数，则 $f(0)=0$。

避坑指南：- 替换错误：常见错误是将解析式写成 $\sin (2x+\varphi +\frac{\pi }{8})$，忽略了频率系数 $2$ 对平移量的缩放。 - 奇偶混淆：偶函数对应相位 $k\pi +\frac{\pi }{2}$，奇函数对应相位 $k\pi$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：函数的对称轴与对称中心。正弦函数的对称轴方程为 $2x+\alpha =k\pi +\frac{\pi }{2}$。

结论推广：函数 $y=A\cos (\omega x+\varphi )$ 若为偶函数，则 $\varphi =k\pi$；若为奇函数，则 $\varphi =k\pi +\frac{\pi }{2}$。

方法推广：偶函数的图象关于 $y$ 轴对称。对于 $y=A\sin (\omega x+\varphi )$，若为偶函数，则 $f(0)=\pm A$；若为奇函数，则 $f(0)=0$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 05.02 函数的四大性质
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2014-重庆卷文-13 填-三角图象变换