2014-重庆卷文-13 填-三角图象变换

本题导读

先伸缩：$\sin (2\omega x+\phi )$；再右移 $\frac{\pi }{6}$：$\sin \left[2\omega \left(x-\frac{\pi }{6}\right)+\phi \right]=\sin x$，比较系数。

📌【题干】

Question

（2014年重庆卷(文)） 将函数 $f(x)=\sin (\omega x+\phi )$（$\omega >0$，$-\frac{\pi }{2}⩽\phi <\frac{\pi }{2}$）图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移 $\frac{\pi }{6}$ 个单位长度得到 $y=\sin x$ 的图象，则 $f\left(\frac{\pi }{6}\right)=$　　　.

🔍【思路分析】

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伸缩把 $\omega$ 变为 $2\omega$；平移后与 $y=\sin x$ 比较得 $2\omega =1$、$\phi =\frac{\pi }{6}$。

✅【答案】

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$\frac{\sqrt{2}}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

横坐标缩短为原来的一半，$\omega$ 变为 $2\omega$，得 $y=\sin (2\omega x+\phi )$。 再向右平移 $\frac{\pi }{6}$：$y=\sin \left[2\omega \left(x-\frac{\pi }{6}\right)+\phi \right]=\sin \left[2\omega x+\left(\phi -\frac{\pi \omega }{3}\right)\right]$。 由题意该函数为 $y=\sin x$，故 $2\omega =1$，$\phi -\frac{\pi \omega }{3}=2k\pi$（$k\in \mathbf{Z}$）。 于是 $\omega =\frac{1}{2}$，$\phi =\frac{\pi }{6}+2k\pi$；结合 $-\frac{\pi }{2}⩽\phi <\frac{\pi }{2}$ 得 $\phi =\frac{\pi }{6}$。 所以 $f(x)=\sin \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{6}\right)$， $f\left(\frac{\pi }{6}\right)=\sin \left(\frac{\pi }{12}+\frac{\pi }{6}\right)=\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角函数的图象变换

2. 核心方法：先伸缩后平移、系数比对法

3. 避坑指南：平移量 $\frac{\pi }{6}$ 是对 $x$ 而言的，代入时要乘上伸缩后的系数 $2\omega$，相位实际移动 $\frac{\pi \omega }{3}$；反向列式时勿把平移方向写反。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 函数 $y=A\sin (\omega x+\phi )$ 的图象变换。

2. 结论推广: 横坐标缩短为原来的一半 $⟺\omega$ 倍增；向右平移 ${\phi }_0$ $⟺$ $x$ 换为 $x-{\phi }_0$。

3. 方法推广: 由变换后的解析式反求参数，按”逆变换”逐层还原，再比较相位与频率。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2015-重庆卷文-18 解-三角恒等变换
• 2014-辽宁卷文-11 单-三角函数平移