2013-广东卷文-13 填-线性规划最值

本题导读

本题考查二元一次不等式组表示的平面区域，以及线性目标函数的最值。

📌【题干】

Question

（2013年广东卷(文)） 已知变量 $x$，$y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}x-y+3⩾0,\\ -1⩽x⩽1,\\ y⩾1,\end{array}$ 则 $z=x+y$ 的最大值是 $\underline{}$ .

🔍【思路分析】

破题导航

1. 边界交点：$x=1$ 与 $y=x+3$ 交于 $(1,4)$。
2. 可行域顶点 $(-1,1)$，$(1,1)$，$(1,4)$，$(-1,2)$。
3. $z$ 值依次为 $0$，$2$，$5$，$1$ → 最大值 $5$。

✅【答案】

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$5$

✍【详细解析】

Abstract

作出可行域：直线 $y=x+3$ 的下方、$x=\pm 1$ 之间、$y=1$ 的上方。 顶点为 $A(-1,1)$，$B(1,1)$，$C(1,4)$，$D(-1,2)$（$C$ 为 $x=1$ 与 $y=x+3$ 的交点，$D$ 为 $x=-1$ 与 $y=x+3$ 的交点）。 计算 $z=x+y$：

顶点	$z$
$(-1,1)$	$0$
$(1,1)$	$2$
$(1,4)$	$5$
$(-1,2)$	$1$
故 $z_{\max }=5$（在点 $(1,4)$ 处取得）。
故答案为 $5$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线性规划求目标函数最值

核心方法：可行域顶点 $(-1,1)$，$(1,1)$，$(1,4)$，$(-1,2)$；$z=x+y$ 在 $(1,4)$ 取最大值 $5$

避坑指南：$y⩽x+3$ 的边界是斜率 $1$ 的直线，与 $x=1$ 的交点是 $(1,4)$——顶点少画一个（尤其斜边界与竖直边界的交点）最值就错；$z=x+y$ 沿 $(1,1)$ 方向平移，取值最大的顶点在右上方。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：简单的线性规划（顶点代入法，广东卷填空题）。

结论推广：画可行域定顶点；$z=x+y$ 平移等值线取最大。

方法推广：画三条边界 → 求顶点坐标 → 逐点代入 $z$ 比较。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2013-安徽卷文-12 填-线性规划非负
• 2013-大纲卷文-15 填-线性规划
• 2013-新课标I卷文-14 填-线性规划