2013-广东卷文-15 填-矩形中的解三角形

本题导读

本题考查解直角三角形，以及余弦定理。

📌【题干】

Question

（2013年广东卷(文)） （几何证明选讲） 如图，在矩形 $ABCD$ 中，$AB=\sqrt{3}$，$BC=3$，$BE\perp AC$，垂足为 $E$，则 $ED=$ $\underline{}$ .

🔍【思路分析】

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1. $\tan \angle BAC=\frac{BC}{AB}=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$ → $\angle BAC=60°$。
2. $AE=AB\cos 60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$；$\angle DAC=90°-60°=30°$。
3. $E{D}^2=\frac{3}{4}+9-2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 3\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{21}{4}$ → $ED=\frac{\sqrt{21}}{2}$。

✅【答案】

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$\frac{\sqrt{21}}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

在 $\text{Rt}△ABC$ 中，$AB=\sqrt{3}$，$BC=3$， $\tan \angle BAC=\frac{BC}{AB}=\sqrt{3}\Rightarrow \angle BAC=60^{\circ },AC=\sqrt{3+9}=2\sqrt{3}.$ 由 $BE\perp AC$，在 $\text{Rt}△ABE$ 中 $AE=AB\cos 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}.$ 又 $\angle DAC=90^{\circ }-\angle BAC=30^{\circ }$，$AD=BC=3$。 在 $△AED$ 中，由余弦定理： $E{D}^2=A{E}^2+A{D}^2-2\cdot AE\cdot AD\cdot \cos 30^{\circ }=\frac{3}{4}+9-2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 3\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{21}{4},$ 故 $ED=\frac{\sqrt{21}}{2}.$ 故答案为 $\frac{\sqrt{21}}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：解三角形（矩形中的射影与余弦定理）

核心方法：$\tan \angle BAC=\frac{BC}{AB}=\sqrt{3}$ → $\angle BAC=60°$；$AE=AB\cos 60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$；$\angle DAC=30°$；$E{D}^2=A{E}^2+A{D}^2-2AE\cdot AD\cos 30°=\frac{21}{4}$ → $ED=\frac{\sqrt{21}}{2}$

避坑指南：$\angle DAC=90°-\angle BAC=30°$ 是 $△AED$ 的顶角——把 $\angle EAD$ 当成 $60°$ 直接套余弦定理就错了；$AE$ 是 $AB$ 在 $AC$ 上的射影 $AB\cos 60°$，别用 $BE$ 当 $AE$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：解直角三角形与余弦定理（选做题：几何证明选讲，广东卷填空题）。

结论推广：直角三角形中 $\tan$ 定角、邻边 $\cos$ 定射影；余弦定理算 $ED$。

方法推广：定 $\angle BAC$ → 算 $AE$ 与 $\angle DAC$ → 余弦定理求 $ED$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.05 射影定理与内角和性质

类题演练 (Links)

• 2014-安徽卷文-12 填-解直角三角形
• 2014-广东卷文-15 填-几何证明选讲
• 2014-天津卷文-07 单-圆内接三角形