2013-广东卷理-18 解-线面垂直

本题导读

本题考查空间位置关系。核心在于几何法、向量法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年广东卷(理)） 如图 1，在等腰直角三角形 $ABC$ 中，$\angle A=90^{\circ }$，$BC=6$.$D,E$ 分别是 $AC,AB$ 上的点，$CD=BE=\sqrt{2}$.$O$ 为 $BC$ 的中点.将 $△ADE$ 沿 $DE$ 折起，得到如图 2 所示的四棱锥 $A^{\prime }-BCDE$，其中 $A^{\prime }O=\sqrt{3}$.

(1)证明：$A^{\prime }O\perp$ 平面 $BCDE$；

(2)求二面角 $A^{\prime }-CD-B$ 的平面角的余弦值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问（线面垂直）：
   • 目标：证明 $A^{\prime }O$ 垂直于平面内两条相交直线（如 $OD$ 和 $OE$）。
   • 关键：计算折叠前 $OD$ 和 $OE$ 的长度。在原图 $△ABC$ 中，利用余弦定理求出 $OD,OE$。
   • 验证：在空间中利用勾股定理逆定理检查 $A^{\prime }{O}^2+O{D}^2=A^{\prime }{D}^2$ 和 $A^{\prime }{O}^2+O{E}^2=A^{\prime }{E}^2$ 是否成立。
2. 第二问（二面角）：
   • 方法一（几何法）：作 $OF\perp CD$ 的延长线于 $F$，连接 $A^{\prime }F$。由 $A^{\prime }O\perp$ 平面 $BCDE$ 知 $A^{\prime }F\perp CD$（三垂线定理），则 $\angle A^{\prime }FO$ 为所求。在直角三角形中求边长得余弦。
   • 方法二（向量法）：建立以 $O$ 为原点的空间直角坐标系。写出各点坐标，求出平面 $A^{\prime }CD$ 的法向量 $\vec{n}$ 和平面 $BCDE$ 的法向量（即 $\overrightarrow{O{A}^{\prime }}$）。利用向量夹角公式计算。

✅【答案】

点击查看答案

所以 $A^{\prime }O\perp$ 平面 $BCDE$。；所以二面角 $A^{\prime }-CD-B$ 的平面角的余弦值为 $\frac{\sqrt{15}}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

（Ⅰ）证明： 在原等腰直角 $△ABC$ 中，$BC=6$，则 $AC=AB=3\sqrt{2}$。 因为 $CD=BE=\sqrt{2}$，所以 $AD=AE=2\sqrt{2}$，折叠后 $A^{\prime }D=A^{\prime }E=2\sqrt{2}$。 连接 $OD,OE$。在 $△COD$ 中，$CO=3,CD=\sqrt{2},\angle C=45^{\circ }$。 由余弦定理：$OD=\sqrt{C{O}^2+C{D}^2-2CO\cdot CD\cos 45^{\circ }}=\sqrt{9+2-2\cdot 3\cdot \sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{5}$。 同理在 $△BOE$ 中可得 $OE=\sqrt{5}$。 在四棱锥 $A^{\prime }-BCDE$ 中： 因为 $A^{\prime }O=\sqrt{3},OD=\sqrt{5},A^{\prime }D=2\sqrt{2}$， 所以 $A^{\prime }{O}^2+O{D}^2=3+5=8=A^{\prime }{D}^2$，故 $A^{\prime }O\perp OD$。 同理 $A^{\prime }{O}^2+O{E}^2=3+5=8=A^{\prime }{E}^2$，故 $A^{\prime }O\perp OE$。 又因为 $OD\cap OE=O$，且 $OD,OE\subset$ 平面 $BCDE$， 所以 $A^{\prime }O\perp$ 平面 $BCDE$。

（Ⅱ）解：（向量法）

取 $DE$ 中点 $H$，连接 $OH$，易证 $OH\perp BC$。 以 $O$ 为原点，射线 $OH,OB,O{A}^{\prime }$ 分别为 $x,y,z$ 轴建立空间直角坐标系。 由题意及（1）可知： $O(0,0,0),A^{\prime }(0,0,\sqrt{3}),C(0,-3,0),D(1,-2,0)$。 平面 $BCDE$ 的一个法向量可取为 $\vec{m}=\overrightarrow{O{A}^{\prime }}=(0,0,\sqrt{3})$。 设平面 $A^{\prime }CD$ 的法向量为 $\vec{n}=(x,y,z)$。 $\overrightarrow{C{A}^{\prime }}=(0,3,\sqrt{3}),\overrightarrow{CD}=(1,1,0)$。 由 $\{\begin{array}{l}\vec{n}\cdot \overrightarrow{C{A}^{\prime }}=3y+\sqrt{3}z=0\\ \vec{n}\cdot \overrightarrow{CD}=x+y=0\end{array}$，取 $y=-1$，则 $x=1,z=\sqrt{3}$。 得 $\vec{n}=(1,-1,\sqrt{3})$。 设二面角 $A^{\prime }-CD-B$ 的平面角为 $\theta$。由图可知 $\theta$ 为锐角。 $\cos \theta =\frac{|\vec{m}\cdot \vec{n}|}{|\vec{m}|\cdot |\vec{n}|}=\frac{3}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{1+1+3}}=\frac{3}{\sqrt{3}\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{15}}{5}$。 所以二面角 $A^{\prime }-CD-B$ 的平面角的余弦值为 $\frac{\sqrt{15}}{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线面垂直的判定、二面角的计算。

核心方法：“折叠前后的变与不变”。长度（如 $A^{\prime }D,A^{\prime }E$）通常是不变量，而位置关系（如 $A^{\prime }O$ 与底面的夹角）是变量，需通过计算求证。

避坑指南：建立坐标系前必须先证明 $A^{\prime }O$ 垂直于底面，否则 $z$ 轴无法确定。几何法作图时需利用三垂线定理准确寻找平面角。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：点到平面的距离、异面直线所成的角。

结论推广：线面角、二面角的向量求法具有通用性，关键在于准确找点并计算法向量。

方法推广：“折叠前后的变与不变”。长度（如 $A^{\prime }D,A^{\prime }E$）通常是不变量，而位置关系（如 $A^{\prime }O$ 与底面的夹角）是变量，需通过计算求证。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.02 余弦定理
• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2015-浙江卷文-18 解-线面垂直角
• 2013-湖南卷文-17 解-线面垂直体积
• 2015-山东卷文-18 解-线面平行与垂直