2015-山东卷文-18 解-线面平行与垂直

本题导读

(1) 利用棱台上下底相似得 $DF\parallel GC$ 且 $DF=GC$，造出平行四边形后用中位线平移 $BD$。

📌【题干】

Question

（2015年山东卷(文)） 如图，在三棱台 $DEF-ABC$ 中，$AB=2DE$，$G$，$H$ 分别为 $AC$，$BC$ 的中点．

(1) 求证：$BD\parallel$ 平面 $FGH$；

(2) 若 $CF\perp BC$，$AB\perp BC$，求证：平面 $BCD\perp$ 平面 $EGH$．

🔍【思路分析】

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(1) 利用棱台上下底相似得 $DF\parallel GC$ 且 $DF=GC$，造出平行四边形后用中位线平移 $BD$。（Ⅱ）把 $BC$ 垂直于平面 $EGH$ 内两条相交直线证出来。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

（Ⅰ） 在三棱台 $DEF-ABC$ 中，上、下底面平行且相似，由 $AB=2DE$ 得

$DF\parallel AC$ 且 $DF=\frac{1}{2}AC=GC$。

所以四边形 $DFCG$ 为平行四边形，设其对角线 $DC$ 与 $FG$ 交于点 $M$，则 $M$ 为 $DC$ 的中点。

又 $H$ 为 $BC$ 的中点，所以 $HM$ 为 $△BCD$ 的中位线，$HM\parallel BD$。

因 $HM\subset$ 平面 $FGH$，$BD\not\subset$ 平面 $FGH$，故 $BD\parallel$ 平面 $FGH$。

（Ⅱ） 连接 $HE$。因为 $G$，$H$ 分别为 $AC$，$BC$ 的中点，所以 $GH\parallel AB$。

由 $AB\perp BC$ 得 $GH\perp BC$。

由 $BC=2EF$ 且 $H$ 为 $BC$ 中点，得 $EF\parallel HC$ 且 $EF=HC$，所以四边形 $EFCH$ 为平行四边形，$CF\parallel HE$。

又 $CF\perp BC$，所以 $HE\perp BC$。

于是 $BC\perp HE$，$BC\perp GH$，且 $HE\cap GH=H$，$HE,GH\subset$ 平面 $EGH$，故 $BC\perp$ 平面 $EGH$。

又 $BC\subset$ 平面 $BCD$，所以平面 $BCD\perp$ 平面 $EGH$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：棱台的棱与底面的位置关系；线面平行、面面垂直的判定定理

核心方法：平行四边形 / 中位线造平行与垂直，再按”线线—线面—面面”逐级递推

避坑指南：（1）棱台中 $\frac{DE}{AB}=\frac{DF}{AC}=\frac{EF}{BC}$，上底边是下底对应边的一半，这组比例是全部论证的出发点；（2）面面垂直必须先证线面垂直，且”两条相交直线”缺一不可；（3）书写时”线在面内 / 线不在面内”的条件要写全，否则被扣步骤分。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：棱台背景的线面位置关系证明题，同时考查对”台体 = 用平行于底面的平面截锥体”这一结构特征的理解。

结论推广：（Ⅰ）另有证法二：由 $BH\parallel EF$ 且 $BH=EF$ 得 $BE\parallel HF$，结合 $GH\parallel AB$ 可证平面 $FGH\parallel$ 平面 $ABED$，再由面面平行的性质得 $BD\parallel$ 平面 $FGH$——两条路线殊途同归。

方法推广：立体几何证明的”递推链”：要证面面垂直，先找线面垂直；要证线面平行，先造线线平行。棱台/棱锥中的比例关系是造平行线的抓手。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 13.04 立体几何高阶：定理、模型与性质

类题演练(Links)

• 2013年山东卷理-18
• 2012年山东卷理-18
• 2009-山东卷理-18