2015-浙江卷文-18 解-线面垂直角

本题导读

以 $A$ 为原点建系，$h=\sqrt{14}$；$\overrightarrow{A_{1}D}=(1,1,0)$ 与 $\overrightarrow{BC}$、$\overrightarrow{A_{1}B}$ 点乘均为 0，证得垂直；法向量求 $\sin \theta =\frac{\sqrt{7}}{8}$。

📌【题干】

Question

（2015年浙江卷(文)） 如图，在三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 中，$\angle BAC=90^{\circ }$，$AB=AC=2$，$A_{1}A=4$，$A_1$ 在底面 $ABC$ 的射影为 $BC$ 的中点，$D$ 是 $B_1{C}_1$ 的中点.

(1) 证明：$A_{1}D\perp$ 平面 $A_{1}BC$；

(2) 求直线 $A_{1}B$ 和平面 $B{B}_1{C}_{1}C$ 所成的角的正弦值.

🔍【思路分析】

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以 $A$ 为原点建系，$h=\sqrt{14}$；$\overrightarrow{A_{1}D}=(1,1,0)$ 与 $\overrightarrow{BC}$、$\overrightarrow{A_{1}B}$ 点乘均为 0，证得垂直；法向量求 $\sin \theta =\frac{\sqrt{7}}{8}$。

✅【答案】

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(1) 证明见解析

(2) $\frac{\sqrt{7}}{8}$

✍【详细解析】

Abstract

因为 $\angle BAC=90^{\circ }$，以 $A$ 为原点、$AB$、$AC$ 所在直线为 $x$ 轴、$y$ 轴建立空间直角坐标系，$z$ 轴竖直向上。

则 $A(0,0,0)$，$B(2,0,0)$，$C(0,2,0)$，$BC$ 的中点 $M(1,1,0)$。由 $A_1$ 在底面的射影为 $M$，设 $A_1(1,1,h)$，则 $A_{1}A=\sqrt{1+1+h^2}=4$，解得 $h^2=14$，$h=\sqrt{14}$。

侧棱 $\overrightarrow{A{A}_1}=(1,1,\sqrt{14})$，故 $B_1=B+\overrightarrow{A{A}_1}=(3,1,\sqrt{14})$，$C_1=(1,3,\sqrt{14})$，$D=\frac{B_1+C_1}{2}=(2,2,\sqrt{14})$。

(1) $\overrightarrow{A_{1}D}=(1,1,0)$。$\overrightarrow{BC}=(-2,2,0)$，$\overrightarrow{A_{1}D}\cdot \overrightarrow{BC}=0$；$\overrightarrow{A_{1}B}=(1,-1,-\sqrt{14})$，$\overrightarrow{A_{1}D}\cdot \overrightarrow{A_{1}B}=1-1+0=0$。

$BC$ 与 $A_{1}B$ 是平面 $A_{1}BC$ 内相交直线，故 $A_{1}D\perp$ 平面 $A_{1}BC$。

(2) 平面 $B{B}_1{C}_{1}C$ 内取 $\overrightarrow{BC}=(-2,2,0)$ 与侧棱方向 $\overrightarrow{B{B}_1}=(1,1,\sqrt{14})$，法向量

$\mathbf{n}=\overrightarrow{BC}\times \overrightarrow{B{B}_1}=(2\sqrt{14},2\sqrt{14},-4)$，取 $\mathbf{n}=(\sqrt{14},\sqrt{14},-2)$，$|\mathbf{n}|=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$。

$\overrightarrow{A_{1}B}=(1,-1,-\sqrt{14})$，$|\overrightarrow{A_{1}B}|=4$，$\overrightarrow{A_{1}B}\cdot \mathbf{n}=\sqrt{14}-\sqrt{14}+2\sqrt{14}=2\sqrt{14}$。

设线面角为 $\theta$，则 $\sin \theta =\frac{|\overrightarrow{A_{1}B}\cdot \mathbf{n}|}{|\overrightarrow{A_{1}B}||\mathbf{n}|}=\frac{2\sqrt{14}}{4\times 4\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{7}}{8}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线面垂直的判定与向量证法；空间向量求线面角

核心方法：“射影定高 → 建系写坐标 → 点乘证垂直 → 法向量求角”

避坑指南：①棱柱是斜棱柱：$A_1$ 不在 $A$ 正上方而在 $BC$ 中点 $M$ 正上方，$B_1=B+\overrightarrow{A{A}_1}$ 时别把侧棱向量写成 $(0,0,h)$；②$A_{1}A=4$ 是侧棱长不是高，高 $h=\sqrt{14}$ 要用两点距离解出；③线面角用 $\sin$，分母是两个模长的乘积。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：斜棱柱中的垂直证明与线面角，是浙江卷立体几何大题的特色载体（doc 考点定位：空间直线、平面垂直关系的证明；直线与平面所成的角），向量法与几何法均可，建系坐标是最大亮点。

结论推广：一般地，“顶点在底面的射影为底边中点”给出 $\overrightarrow{A{A}_1}=\overrightarrow{AM}+h\mathbf{k}$，用侧棱长 $\sqrt{|\overrightarrow{AM}{|}^2+h^2}$ 定高；本题 $|\overrightarrow{AM}|=\sqrt{2}$、侧棱 $4$ 得 $h=\sqrt{14}$。

方法推广：立体几何向量法流水线：定原点与轴 → 用几何条件补全坐标 → 证明用”点乘为零 + 相交” → 求角用法向量；每一步都可独立验算。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 21.03 空间向量求角
• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练(Links)

• 2015-浙江卷理-17 解-线面垂直
• 2014-浙江卷理-20 解-空间位置关系的证明
• 2011-浙江卷理-20