2013-新课标I卷文-05 单-复合命题真假

本题导读

本题考查全称命题与存在性命题，以及复合命题的真值。

📌【题干】

Question

（2013年新课标I卷(文)） 已知命题 $p$：$\forall x\in \mathbf{R}$，$2^x<3^x$；命题 $q$：$\exists x\in \mathbf{R}$，$x^3=1-x^2$，则下列命题中为真命题的是()

A. $p\wedge q$　　　　　　B. $\neg p\wedge q$　　　　　　C. $p\wedge \neg q$　　　　　　D. $\neg p\wedge \neg q$

🔍【思路分析】

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1. 取 $x=-1$，$2^{-1}>3^{-1}$，故 $p$ 为假。
2. 令 $g(x)=x^3+x^2-1$，$g(0)=-1<0$，$g(1)=1>0$，由零点存在定理知 $q$ 为真。

✅【答案】

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（B）

✍【详细解析】

Abstract

命题 $p$：取 $x=-1$，则 $2^{-1}=\frac{1}{2}>\frac{1}{3}=3^{-1}$，与 $2^x<3^x$ 矛盾，故 $p$ 为假命题。 命题 $q$：设 $g(x)=x^3+x^2-1$，则 $g(0)=-1<0$，$g(1)=1>0$，且 $g(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上连续，故存在 $x_0\in (0,1)$ 使 $g(x_0)=0$，即 $x_0^3=1-x_0^2$，故 $q$ 为真命题。 所以 $\neg p$ 为真、$q$ 为真，$\neg p\wedge q$ 为真，选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：全称命题与存在性命题的真假判断

核心方法：举反例否定全称命题、零点存在定理判定存在性

避坑指南：全称命题为假只需一个反例；存在性命题为真要给出”存在”的依据（如零点存在定理）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：常用逻辑用语中的命题真假与复合命题。

结论推广：$p\wedge q$ 为真需两者同真；$p$ 为假则 $\neg p$ 为真。

方法推广：复合命题真假一律”先分别判断，再按真值组合”。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2014-新课标II卷文-03 单-充要条件
• 2015-新课标II卷文-12 单-函数性质