2013-新课标I卷理-17 解-正弦定理

本题导读

本题考查正弦定理。核心在于几何法、定理代数化的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年新课标I卷(理)） 如图，在 $△ABC$ 中，$\angle ABC=90^{\circ }$，$AB=\sqrt{3}$，$BC=1$，$P$ 为 $△ABC$ 内一点，$\angle BPC=90^{\circ }$.

(1)若 $PB=\frac{1}{2}$，求 $PA$；

(2)若 $\angle APB=150^{\circ }$，求 $\tan \angle PBA$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：
   • 目标是求 $PA$，已知 $AB=\sqrt{3}$，若能求出 $\angle PBA$ 即可利用余弦定理。
   • 在 $\text{Rt}△PBC$ 中，已知 $BC=1$ 和 $PB=\frac{1}{2}$，可求出 $\angle PBC$。
   • 利用 $\angle PBA=90^{\circ }-\angle PBC$ 得到夹角，随后在 $△PBA$ 中使用余弦定理。
2. 第二问：
   • 设 $\angle PBA=\alpha$，则 $\angle PBC=90^{\circ }-\alpha$。
   • 在 $\text{Rt}△PBC$ 中，利用边角关系将 $PB$ 用含有 $\alpha$ 的式子表示。
   • 在 $△PBA$ 中，利用正弦定理建立关于 $\alpha$ 的等式。
   • 展开正弦公式，化简为关于 $\sin \alpha$ 和 $\cos \alpha$ 的关系式，求出 $\tan \alpha$。

✅【答案】

点击查看答案

$PA=\frac{\sqrt{7}}{2}$；$\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\sqrt{3}}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）解： 在 $\text{Rt}△PBC$ 中，$\angle BPC=90^{\circ }$，$BC=1$，$PB=\frac{1}{2}$。 则 $\cos \angle PBC=\frac{PB}{BC}=\frac{1/2}{1}=\frac{1}{2}$。 因为 $\angle PBC$ 是三角形内角，所以 $\angle PBC=60^{\circ }$。 从而 $\angle PBA=\angle ABC-\angle PBC=90^{\circ }-60^{\circ }=30^{\circ }$。

在 $△PBA$ 中，由余弦定理得： $P{A}^2=P{B}^2+A{B}^2-2PB\cdot AB\cdot \cos \angle PBA$ $P{A}^2={\left(\frac{1}{2}\right)}^2+(\sqrt{3}{)}^2-2\cdot \frac{1}{2}\cdot \sqrt{3}\cdot \cos 30^{\circ }$ $P{A}^2=\frac{1}{4}+3-\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ $P{A}^2=\frac{13}{4}-\frac{3}{2}=\frac{7}{4}$ 所以 $PA=\frac{\sqrt{7}}{2}$。

（2）解： 设 $\angle PBA=\alpha$，则 $\angle PBC=90^{\circ }-\alpha$。 在 $\text{Rt}△PBC$ 中，$PB=BC\cdot \cos (90^{\circ }-\alpha )=1\cdot \sin \alpha =\sin \alpha$。

在 $△PBA$ 中，由正弦定理得： $\frac{AB}{\sin \angle APB}=\frac{PB}{\sin \angle PAB}$ 已知 $\angle APB=150^{\circ }$，则 $\angle PAB=180^{\circ }-150^{\circ }-\alpha =30^{\circ }-\alpha$。 代入数据： $\frac{\sqrt{3}}{\sin 150^{\circ }}=\frac{\sin \alpha }{\sin (30^{\circ }-\alpha )}$ 由于 $\sin 150^{\circ }=\frac{1}{2}$，上式化为： $2\sqrt{3}=\frac{\sin \alpha }{\sin 30^{\circ }\cos \alpha -\cos 30^{\circ }\sin \alpha }$ $2\sqrt{3}=\frac{\sin \alpha }{\frac{1}{2}\cos \alpha -\frac{\sqrt{3}}{2}\sin \alpha }$ 整理得：$\sqrt{3}\cos \alpha -3\sin \alpha =\sin \alpha$ $\sqrt{3}\cos \alpha =4\sin \alpha$ 所以 $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\sqrt{3}}{4}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$ 与余弦定理 $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$ 的切换。

核心方法：参数关联法。第二问通过同一个变量 $\alpha$ 同时表示边 $PB$ 和角 $\angle PAB$，从而将分散在两个三角形中的信息统一到正弦定理中求解。

避坑指南：- 第一问计算余弦定理时，要注意角 $\angle PBA$ 的对应关系。 - 第二问在利用正弦定理时，确保 $\angle PAB$ 的补角关系正确（内角和为 $180^{\circ }$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三角形内角和定理、三角恒等变换中的两角和差公式。

结论推广：此类“点在三角形内”的问题，常结合向量或面积法作为替代方案。

方法推广：坐标法。以 $B$ 为原点建立平面直角坐标系，通过点 $P$ 的坐标 $(x,y)$ 建立方程组，也是解决此题的有力手段。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.02 余弦定理
• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2015-福建卷文-14 填-正弦定理
• 2014-湖北卷文-13 填-正弦定理
• 2014-江西卷文-05 单-正弦定理