2020-全国卷II文-17 解-解三角形

本题导读

本题考查三角恒等变换与诱导公式。核心在于诱导公式化简法、边角互化与余弦定理的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2020年全国卷II(文)）$△ABC$ 的内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$, 已知 ${\cos }^2\left(\frac{\pi }{2}+A\right)+\cos A=\frac{5}{4}$.

(1) 求 $A$;

(2) 若 $b-c=\frac{\sqrt{3}}{3}a$, 证明: $△ABC$ 是直角三角形.

🔍【思路分析】

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1. 第(1)问：利用诱导公式将 $\cos \left(\frac{\pi }{2}+A\right)$ 化为 $-\sin A$，进而得到 ${\sin }^{2}A+\cos A=\frac{5}{4}$，结合 ${\sin }^{2}A=1-{\cos }^{2}A$ 解出 $\cos A$，从而求出角 $A$。
2. 第(2)问：由 $b-c=\frac{\sqrt{3}}{3}a$ 结合正弦定理将边化为角，利用正弦差公式化简求出另两个角的正弦关系，再结合三角形内角和与余弦定理证明其为直角三角形。

✅【答案】

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$A=\frac{\pi }{3}$（即 $60^{\circ }$）

✍【详细解析】

Abstract

(1) 因为 $\cos \left(\frac{\pi }{2}+A\right)=-\sin A$， 所以原方程可化为： $(-\sin A{)}^2+\cos A=\frac{5}{4}⟹{\sin }^{2}A+\cos A=\frac{5}{4}$. 由 ${\sin }^{2}A=1-{\cos }^{2}A$ 代入得： $1-{\cos }^{2}A+\cos A=\frac{5}{4}$ ${\cos }^{2}A-\cos A+\frac{1}{4}=0⟹{\left(\cos A-\frac{1}{2}\right)}^2=0$. 解得 $\cos A=\frac{1}{2}$. 因为 $A$ 是 $△ABC$ 的内角，所以 $A=\frac{\pi }{3}$（即 $60^{\circ }$）。

(2) 由 $A=\frac{\pi }{3}$ 及 $b-c=\frac{\sqrt{3}}{3}a$，根据正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$，可得： $\sin B-\sin C=\frac{\sqrt{3}}{3}\sin A=\frac{\sqrt{3}}{3}\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}$. 两边平方得： $(\sin B-\sin C{)}^2=\frac{1}{4}⟹{\sin }^{2}B+{\sin }^{2}C-2\sin B\sin C=\frac{1}{4}$. 又因为 $A=\frac{\pi }{3}⟹B+C=\frac{2\pi }{3}⟹C=\frac{2\pi }{3}-B$， 代入得： ${\sin }^{2}B+{\sin }^2\left(\frac{2\pi }{3}-B\right)-2\sin B\sin \left(\frac{2\pi }{3}-B\right)=\frac{1}{4}$. 展开化简： ${\sin }^2\left(\frac{2\pi }{3}-B\right)={\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos B+\frac{1}{2}\sin B\right)}^2=\frac{3}{4}{\cos }^{2}B+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin B\cos B+\frac{1}{4}{\sin }^{2}B$. （也可直接利用余弦定理证明：由 $b-c=\frac{\sqrt{3}}{3}a$ 及余弦定理 $a^2=b^2+c^2-bc$ 展开求解）。 更简便的方法： 由 $b-c=\frac{\sqrt{3}}{3}a$, 利用正弦定理得 $b-c=\frac{\sqrt{3}}{3}(\sin B-\sin C)$ 不对，应为 $\sin B-\sin C=\frac{\sqrt{3}}{3}\sin A$. 由余弦定理 $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A=b^2+c^2-bc$（因为 $\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$）。 又由 $b-c=\frac{\sqrt{3}}{3}a⟹a=\sqrt{3}(b-c)⟹a^2=3(b^2-2bc+c^2)$. 联立得： $b^2+c^2-bc=3b^2-6bc+3c^2⟹2b^2+2c^2-5bc=0$ $(2b-c)(b-2c)=0$. 若 $c=2b$，代入 $b-c=\frac{\sqrt{3}}{3}a⟹-b=\frac{\sqrt{3}}{3}a$（舍去，边长为正）。 故 $c=\frac{1}{2}b$ 或 $b=2c$. 若 $b=2c$，由余弦定理： $\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$. 因为 $a^2=b^2+c^2-bc=(2c{)}^2+c^2-(2c)c=3c^2$， 所以 $\cos C=\frac{3c^2+4c^2-c^2}{2(\sqrt{3}c)(2c)}=\frac{6c^2}{4\sqrt{3}{c}^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$. 因为 $C$ 为三角形内角，所以 $C=\frac{\pi }{6}$（即 $30^{\circ }$）。 从而 $B=180^{\circ }-A-C=180^{\circ }-60^{\circ }-30^{\circ }=90^{\circ }$. 因此 $△ABC$ 是直角三角形。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：诱导公式、正余弦定理、三角形形状判定。
2. 核心方法：边角互化、利用余弦定理建立边长齐次方程求解。
3. 避坑指南：利用平方关系化简时注意检验增根或不合题意的边长关系。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考解三角形解答题的经典题型。
2. 结论推广: 三角形中边角关系化简时，多采用余弦定理转化为代数方程求解。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式
• 11.01 正弦定理

类题演练 (Links)

• 2014-辽宁卷文-17 解-解三角形
• 2013-新课标I卷理-17 解-正弦定理
• 2013-福建卷理-13 填-余弦定理