2013-新课标II卷理-02 单-复数除法

本题导读

本题考查复数的代数运算，以及复数的除法。

📌【题干】

Question

（2013年新课标II卷(理)） 2. 设复数 $z$ 满足 $(1-i)z=2i$, 则 $z=$()

A. $-1+i$　　　　　　B. $-1-i$　　　　　　C. $1+i$　　　　　　D. $1-i$

🔍【思路分析】

破题导航

3. 等式变形：将方程 $(1-i)z=2i$ 变形为 $z=\frac{2i}{1-i}$。
4. 分母实数化：为了化简复数商，分子和分母需要同时乘以分母 $1-i$ 的共轭复数 $1+i$。
5. 代数运算：利用 $i^2=-1$ 的性质进行计算并整理出最终结果。

✅【答案】

点击查看答案

A

✍【详细解析】

Abstract

由题意得： $z=\frac{2i}{1-i}$

分子分母同时乘以分母的共轭复数 $1+i$： $z=\frac{2i(1+i)}{(1-i)(1+i)}$

展开分子分母：

• 分子：$2i(1+i)=2i+2i^2=2i-2$
• 分母：$(1-i)(1+i)=1^2-i^2=1-(-1)=2$

代入得： $z=\frac{-2+2i}{2}=-1+i$

故选：A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数除法法则 $\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{c^2+d^2}$。

核心方法：记住常用结论 $(1+i{)}^2=2i$，$(1-i{)}^2=-2i$，以及 $(1+i)(1-i)=2$，可以显著提高运算速度。

避坑指南：在计算分子 $2i+2i^2$ 时，务必注意符号变化，$i^2$ 必须替换为 $-1$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：复数的模、复数在复平面内的几何意义。

结论推广：若 $z=\frac{a+bi}{a-bi}$，则 $|z|=1$。

方法推广：涉及复数模的问题 $|z|=|\frac{2i}{1-i}|$ 时，可以利用模的商等于商的模运算：$|z|=\frac{|2i|}{|1-i|}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2015-天津卷文-09 填-复数除法
• 2014-新课标II卷文-02 单-复数除法
• 2014-天津卷文-01 单-复数除法