2013-江苏卷-09 填-切线方程

本题导读

本题考查导数的几何意义，以及切线方程。

📌【题干】

Question

（2013年江苏卷） 抛物线 $y=x^2$ 在 $x=1$ 处的切线与坐标轴围成三角形区域为 $D$（包含三角形内部与边界）.若点 $P(x,y)$ 是区域 $D$ 内的任意一点，则 $x+2y$ 的取值范围是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求切线方程：
   • 对 $y=x^2$ 求导得 $y^{\prime }=2x$。
   • 计算 $x=1$ 时的斜率 $k$ 和切点坐标 $(1,1)$。
   • 利用点斜式写出切线方程。
2. 确定区域 $D$：
   • 找出切线与 $x$ 轴、$y$ 轴的交点。
   • 这三个点（原点及两个交点）构成的直角三角形即为区域 $D$。
3. 求解线性规划：
   • 设目标函数 $z=x+2y$。
   • 将 $z$ 看作斜率为 $-\frac{1}{2}$ 的直线系在 $y$ 轴上的截距的两倍。
   • 在区域 $D$ 的顶点处寻找 $z$ 的最大值和最小值。

✅【答案】

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$[-2,\frac{1}{2}]$

✍【详细解析】

Abstract


第一步：求切线方程 设 $f(x)=x^2$，则 $f^{\prime }(x)=2x$。 在 $x=1$ 处，切点为 $(1,1)$，切线斜率 $k=f^{\prime }(1)=2$。 切线方程为：$y-1=2(x-1)$，即 $y=2x-1$。

第二步：确定三角形区域 $D$ 的顶点 切线 $y=2x-1$ 与坐标轴的交点：

• 令 $x=0$，得 $y=-1$。交点为 $A(0,-1)$。
• 令 $y=0$，得 $x=\frac{1}{2}$。交点为 $B(\frac{1}{2},0)$。 再加上坐标原点 $O(0,0)$。 区域 $D$ 是以 $O(0,0),A(0,-1),B(\frac{1}{2},0)$ 为顶点的三角形及其内部。

第三步：求目标函数 $z=x+2y$ 的取值范围 目标函数为线性函数，最值必在区域 $D$ 的顶点处取得。

• 当 $P=O(0,0)$ 时，$z=0+2(0)=0$；
• 当 $P=A(0,-1)$ 时，$z=0+2(-1)=-2$；
• 当 $P=B(\frac{1}{2},0)$ 时，$z=\frac{1}{2}+2(0)=\frac{1}{2}$。

比较三个顶点的函数值： 最小值 $z_{min}=-2$，最大值 $z_{max}=\frac{1}{2}$。

故 $x+2y$ 的取值范围是 $[-2,\frac{1}{2}]$。

故答案为：$[-2,\frac{1}{2}]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：导数的几何意义（切线斜率）、直线的截距式、线性规划的最值判定。

核心方法：“顶点代入法”。在线性规划中，若区域是凸多边形且目标函数是线性的，最值一定在顶点处产生。

避坑指南：求交点时不要算错坐标（例如将 $\frac{1}{2}$ 算成 $2$）；注意取值范围要写成区间或集合形式。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：导数的几何意义（切线斜率）、直线的截距式、线性规划的最值判定。

结论推广：若目标函数改为非线性的（如 $x^2+y^2$），则考查的是区域到原点距离的平方。

方法推广：对于复杂的边界条件，建议动笔画出草图以直观判定目标函数直线的平移方向。!

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 20.01 导数定义与几何意义
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2026-新高考I卷-04 单-切线方程
• 2025-新高考I卷-12 填-切线方程(缺思路分析)
• 2014-福建卷文-06 单-直线方程