2013-江苏卷-11 填-函数奇偶性

本题导读

本题考查函数的图象与性质，以及函数的奇偶性。

📌【题干】

Question

（2013年江苏卷） 已知 $f(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的奇函数.当 $x>0$ 时，$f(x)=x^2-4x$，则不等式 $f(x)>x$ 的解集用区间表示为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 确定 $x>0$ 时的解： 直接代入解析式 $x^2-4x>x$，解二次不等式，并取 $x>0$ 的交集。
2. 确定 $x=0$ 时的解： 由于奇函数定义在 $\mathbb{R}$ 上，必有 $f(0)=0$。验证 $0>0$ 是否成立。
3. 确定 $x<0$ 时的解：
   • 方法 A：利用 $f(-x)=-f(x)$ 求出 $x<0$ 时的解析式，再解不等式。
   • 方法 B：利用奇函数图象关于原点对称的特点，结合 $x>0$ 的解直接推导。
4. 合并解集：将各段解集求并集。

✅【答案】

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$(-5,0)\cup (5,+\infty )$

✍【详细解析】

Abstract


第一步：当 $x>0$ 时 由 $f(x)>x$ 得： $x^2-4x>x⟹x^2-5x>0⟹x(x-5)>0$ 解得 $x>5$ 或 $x<0$。 由于前提条件为 $x>0$，故此时解集为 $(5,+\infty )$。

第二步：当 $x=0$ 时 因为 $f(x)$ 是奇函数，所以 $f(0)=0$。 不等式为 $0>0$，可知不成立。

第三步：当 $x<0$ 时 设 $x<0$，则 $-x>0$。 由题意知 $f(-x)=(-x{)}^2-4(-x)=x^2+4x$。 由于 $f(x)$ 为奇函数，则 $f(x)=-f(-x)=-(x^2+4x)=-x^2-4x$。 由 $f(x)>x$ 得： $-x^2-4x>x⟹-x^2-5x>0⟹x^2+5x<0⟹x(x+5)<0$ 解得 $-5<x<0$。 由于前提条件为 $x<0$，故此时解集为 $(-5,0)$。

第四步：合并结果 综上所述，不等式 $f(x)>x$ 的解集为 $(-5,0)\cup (5,+\infty )$。

故答案为：$(-5,0)\cup (5,+\infty )$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：奇函数性质 $f(-x)=-f(x)$ 及图象对称性。

核心方法：“分类讨论”。处理分段定义的函数问题时，必须严格区分自变量的取值范围。

避坑指南：求出 $x<0$ 段的解后，一定要记得与 $x>0$ 段的解合并；注意题目要求使用“区间表示”。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：奇函数性质 $f(-x)=-f(x)$ 及图象对称性。

结论推广：若 $f(x)$ 为奇函数且在 $(0,+\infty )$ 上的解集为 $(a,b)$，则在 $(-\infty ,0)$ 上的解集关于原点对称。

方法推广：对于复杂的奇偶函数不等式，画出函数草图往往比纯代数推导更直观且不易出错。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 05.02 函数的四大性质
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2026-上海卷-05 填-函数奇偶性
• 2015-福建卷文-03 单-函数奇偶性
• 2015-广东卷文-03 单-函数奇偶性