2026-上海卷-05 填-函数奇偶性

本题导读

本题考查偶函数的代数定义及解析式求值。核心在于利用偶函数关于 $y$ 轴对称的性质，将负自变量的函数值转化为正自变量的函数值，进而代入已知区间解析式建立方程求解。

📌【题干】

Question

（2026年上海卷）函数 $f(x)$ 是偶函数，当 $x\ge 0$ 时， $f(x)=\sqrt{x}-a$，若 $f(-4)=3$，则 $a=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 运用偶函数性质：根据偶函数定义，满足 $f(-x)=f(x)$，因此 $f(-4)=f(4)$。
2. 代入对应区间：因为 $4\ge 0$，可将 $x=4$ 代入当 $x\ge 0$ 时的函数解析式 $f(x)=\sqrt{x}-a$ 中。
3. 建立方程求解：联立 $f(4)=3$ 列出一元一次方程，解出参数 $a$ 的值。

✅【答案】

点击查看答案

-1

✍【详细解析】

Abstract

因为函数 $f(x)$ 是偶函数， 根据偶函数的定义，对定义域内的任意 $x$，均有 $f(-x)=f(x)$。 所以： $f(-4)=f(4)$ 已知 $f(-4)=3$，得： $f(4)=3$ 又因为当 $x\ge 0$ 时， $f(x)=\sqrt{x}-a$， 且 $4\ge 0$，将 $x=4$ 代入解析式得： $f(4)=\sqrt{4}-a=2-a$ 因此： $2-a=3$ 解得： $a=-1$

故答案为 -1。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：偶函数的代数性质（$f(-x)=f(x)$）；分段或单侧已知解析式的求值策略。
2. 核心方法：正负自变量对称转化法。
3. 避坑指南：运算符号疏忽。避免在最后一步移项时（如由 $2-a=3$ 错算成 $a=1$）发生符号错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于上海高考数学基础填空题，重点考查基本初等函数的单侧解析式延展与抽象几何对称性质的结合。
2. 结论推广：若已知偶函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty )$ 上的解析式为 $g(x)$，则其在全实数域 $\mathbb{R}$ 上的完整解析式可表达为 $f(x)=g(|x|)$。本题中函数可写为 $f(x)=\sqrt{|x|}-a$，代入 $x=-4$ 直接得 $\sqrt{|-4|}-a=3⟹2-a=3⟹a=-1$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2003-北京卷理-11
• 2008-福建卷理-04
• 2009-四川卷理-12