2013-江苏卷-17 解-圆的方程

本题导读

本题考查直线与圆。核心在于待定系数法、轨迹方程法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年江苏卷）如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $A (0, 3)$ ，直线 $l : y = 2 x - 4$ ，设圆 $C$ 的半径为 $1$ ，圆心 $C$ 在直线 $l$ 上.

(1)若圆心 $C$ 也在直线 $y = x - 1$ 上，过点 $A$ 作圆 $C$ 的切线，求切线的方程；

(2)若圆 $C$ 上存在点 $M$ ，使 $M A = 2 M O$ ，求圆心 $C$ 的横坐标 $a$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

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第一问（切线方程）：

定圆心：联立 $y = 2 x - 4$ 与 $y = x - 1$ 解出圆心 $C (3, 2)$ 。

设方程：点 $A (0, 3)$ 在圆外，设切线为 $y - 3 = k (x - 0)$ 。注意检查斜率不存在的情况。

利用距离公式：圆心到切线的距离等于半径 $r = 1$ ，解出 $k$ 。

第二问（横坐标范围）：

分析点 $M$ 轨迹：条件 $M A = 2 M O$ 是典型的阿波罗尼斯圆定义。设 $M (x, y)$ ，代入距离公式化简得出点 $M$ 的轨迹方程（记为圆 $D$ ）。

转化问题：圆 $C$ 上存在点 $M$ 满足条件 $⟺$ 圆 $C$ 与圆 $D$ 有公共点（相交或相切）。

利用几何条件：两圆有公共点满足 $∣ r_{C} - r_{D} ∣ \leq ∣ C D ∣ \leq r_{C} + r_{D}$ 。

代数求解：将圆心 $C (a, 2 a - 4)$ 代入不等式，解关于 $a$ 的二次不等式组。

✅【答案】

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故切线方程为： $y = 3$ 或 $3 x + 4 y - 12 = 0$ 。；综上所述，圆心 $C$ 的横坐标 $a$ 的取值范围是 $[0, \frac{12}{5}]$

✍【详细解析】

Abstract

（1）解： 由 ${y = x - 1 y = 2 x - 4$ 解得 ${x = 3 y = 2$ ，故圆心 $C (3, 2)$ 。圆 $C$ 的方程为 $(x - 3)^{2} + (y - 2)^{2} = 1$ 。由于点 $A (0, 3)$ 不在直线 $x = 3$ 上，切线斜率可知存在。设切线方程为 $y = k x + 3$ ，即 $k x - y + 3 = 0$ 。根据圆心到切线距离等于半径： $d = \frac{∣3 k - 2 + 3∣}{k ^{2} + 1} = 1 ⟹ ∣3 k + 1∣ = k^{2} + 1$ 平方得： $9 k^{2} + 6 k + 1 = k^{2} + 1 ⟹ 8 k^{2} + 6 k = 0$ 解得 $k_{1} = 0$ ， $k_{2} = - \frac{3}{4}$ 。故切线方程为： $y = 3$ 或 $3 x + 4 y - 12 = 0$ 。

（2）解： 设 $M (x, y)$ ，由 $M A = 2 M O$ 得： $x^{2} + (y - 3)^{2} = 2 x^{2} + y^{2}$ 两边平方并化简： $x^{2} + y^{2} - 6 y + 9 = 4 x^{2} + 4 y^{2} ⟹ 3 x^{2} + 3 y^{2} + 6 y - 9 = 0$

$x^{2} + y^{2} + 2 y - 3 = 0 ⟹ x^{2} + (y + 1)^{2} = 4$ 可知点 $M$ 的轨迹是以 $D (0, - 1)$ 为圆心， $r_{D} = 2$ 为半径的圆 $D$ 。若圆 $C$ 上存在点 $M$ 使条件成立，则圆 $C$ 与圆 $D$ 必有公共点。圆心 $C$ 的坐标为 $(a, 2 a - 4)$ ，半径 $r_{C} = 1$ 。

两圆有公共点需满足： $∣ r_{C} - r_{D} ∣ \leq ∣ C D ∣ \leq r_{C} + r_{D}$

即 $∣1 - 2∣ \leq (a - 0)^{2} + (2 a - 4 + 1)^{2} \leq 1 + 2$ $1 \leq a^{2} + (2 a - 3)^{2} \leq 3$

两边平方： $1 \leq a^{2} + 4 a^{2} - 12 a + 9 \leq 9$ $1 \leq 5 a^{2} - 12 a + 9 \leq 9$

拆解为不等式组： ① $5 a^{2} - 12 a + 8 \geq 0$ 由于 $Δ = (- 12)^{2} - 4 \times 5 \times 8 = 144 - 160 < 0$ ，故该式对任意实数 $a$ 恒成立。

② $5 a^{2} - 12 a \leq 0 ⟹ a (5 a - 12) \leq 0$ 解得 $0 \leq a \leq \frac{12}{5}$ 。

综上所述，圆心 $C$ 的横坐标 $a$ 的取值范围是 $[0, \frac{12}{5}]$ 。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆与圆的位置关系是解析几何的中难点。

核心方法：“存在性问题转化为位置关系问题”。将点 $M$ 满足的几何条件转化为轨迹圆，再研究两圆相交。

避坑指南：- 切线方程设点斜式时，严格来说应先验证斜率不存在的情况（ $x = x_{A}$ ）。 - 阿波罗尼斯圆的化简务必准确，系数不能算错。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：圆与圆的位置关系是解析几何的中难点。

结论推广：平面上到两定点距离之比为常数 $λ (λ > 0, λ \neq = 1)$ 的点轨迹一定是圆。

方法推广：对于含参的解析几何题，利用几何性质（如半径之和、之差）往往比直接联立方程判别式（代数法）计算量更小。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

20.01 导数定义与几何意义

17.04 圆与圆的位置关系

17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

2026-新高考II卷-09 多-圆的方程

2014-山东卷文-14 填-圆的标准方程

2013-江西卷文-14 填-圆的方程相切

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2013-江苏卷-17 解-圆的方程

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