2013-江苏卷-19 解-基本性质及通项公式

本题导读

本题考查等差数列。核心在于待定系数法、构造与代换法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年江苏卷） 设 $\{a_n\}$ 是首项为 $a$、公差为 $d$ 的等差数列 ($d\ne 0$)，$S_n$ 为其前 $n$ 项和.记 $b_n=\frac{n{S}_n}{n^2+c}$，$n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$，其中 $c$ 为实数.

(1)若 $c=0$，且 $b_1,b_2,b_4$ 成等比数列，证明：$S_{nk}=n^2{S}_k$ ($n,k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$)；

(2)若 $\{b_n\}$ 为等差数列，证明：$c=0$.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（恒等式证明）：
   • 简化表达式：当 $c=0$ 时，$b_n=\frac{n{S}_n}{n^2}=\frac{S_n}{n}$。
   • 建立联系：根据等比中项性质 $b_2^2=b_1{b}_4$，代入等差数列求和公式，求得 $a$ 与 $d$ 的具体比例关系。
   • 代入验证：将 $d=2a$ 代入 $S_{nk}$ 与 $n^2{S}_k$ 的通用表达式，通过代数化简证明两端相等。
2. 第二问（参数性质证明）：
   • 观察结构：将 $b_n$ 展开为关于 $n$ 的分式形式。
   • 阶数分析：等差数列的通项公式 $b_n$ 必须是关于 $n$ 的一次函数（形如 $An+B$）。
   • 分离常数：通过多项式除法或配凑法，将 $b_n$ 拆解为一个一次多项式与一个分式项。
   • 极限思想/恒等分析：若整个数列是等差的，则分式项必须为 $0$，由此倒推 $c$ 的值。

✅【答案】

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所以 $S_{nk}=n^2{S}_k$ 成立。；故 $c=0$ 得证

✍【详细解析】

Abstract

（1）证明： 若 $c=0$，则 $b_n=\frac{n{S}_n}{n^2}=\frac{S_n}{n}$。 由等差数列求和公式得 $S_n=\frac{n[2a+(n-1)d]}{2}$，则 $b_n=a+\frac{n-1}{2}d$。 因为 $b_1,b_2,b_4$ 成等比数列，所以 $b_2^2=b_1{b}_4$。 即：$(a+\frac{1}{2}d{)}^2=a(a+\frac{3}{2}d)$ 展开得：$a^2+ad+\frac{1}{4}{d}^2=a^2+\frac{3}{2}ad$ 化简得：$\frac{1}{4}{d}^2=\frac{1}{2}ad$ 由于 $d\ne 0$，两边同除以 $\frac{1}{4}d$，得 $d=2a$。 此时，$S_n=\frac{n[2a+(n-1)2a]}{2}=\frac{n(2an)}{2}=n^{2}a$。 则 $S_{nk}=(nk{)}^{2}a=n^2{k}^{2}a$。 而 $n^2{S}_k=n^2(k^{2}a)=n^2{k}^{2}a$。 所以 $S_{nk}=n^2{S}_k$ 成立。

（2）证明： 将 $S_n=\frac{d}{2}{n}^2+(a-\frac{d}{2})n$ 代入 $b_n$： $b_n=\frac{n{S}_n}{n^2+c}=\frac{\frac{d}{2}{n}^3+(a-\frac{d}{2})n^2}{n^2+c}$ 利用配凑法变形： $b_n=\frac{(\frac{d}{2}n+a-\frac{d}{2})(n^2+c)-c(\frac{d}{2}n+a-\frac{d}{2})}{n^2+c}$ $b_n=\left(\frac{d}{2}n+a-\frac{d}{2}\right)-\frac{c(\frac{d}{2}n+a-\frac{d}{2})}{n^2+c}$ (※) 若 $\{b_n\}$ 是等差数列，则 $b_n$ 必须具有 $An+B$ 的形式。 观察 (※) 式，第一部分已经是 $n$ 的一次函数。 若要整体为等差数列，则分式部分 $\frac{c(\frac{d}{2}n+a-\frac{d}{2})}{n^2+c}$ 必须为常数。 由于分子的最高次数（1次）低于分母的最高次数（2次），当 $n\to \infty$ 时，该分式趋于 $0$。 故该常数项只能为 $0$。 即 $c\left(\frac{d}{2}n+a-\frac{d}{2}\right)=0$ 对任意 $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ 恒成立。 因为 $d\ne 0$，括号内不恒为 $0$，所以必须有 $c=0$。 经检验，当 $c=0$ 时，$b_n=\frac{d}{2}n+a-\frac{d}{2}$，可知是等差数列。 故 $c=0$ 得证。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：见详细解析

核心方法：处理“数列是等差/等比”的证明题时，利用通项公式的函数特征（等差是线性，等比是指数）往往比利用定义 $b_{n+1}-b_n=d$ 计算更简洁。

避坑指南：在第二问中，一定要说明分子次数低于分母次数这一关键点，从而判定分式部分若为常数则必为 $0$。 3. 关键公式：$S_n=\frac{d}{2}{n}^2+(a-\frac{d}{2})n$ 是分析等差数列求和结构的利器。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：见详细解析

结论推广：见详细解析。

方法推广：处理“数列是等差/等比”的证明题时，利用通项公式的函数特征（等差是线性，等比是指数）往往比利用定义 $b_{n+1}-b_n=d$ 计算更简洁。

🔗【关联脉络】

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