2026-上海卷-07 填-基本不等式

本题导读

本题考查利用基本不等式求解条件最值问题。核心在于将已知条件 $a^2+4b^2=1$ 的结构转化为与目标式 $ab$ 相关联的形式，并精确判定等号成立的条件。

📌【题干】

Question

（2026年上海卷）已知 $a^2+4b^2=1$，则 $ab$ 的最大值为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 识别代数结构：已知式由平方和 $a^2$ 与 $(2b{)}^2$ 构成，目标式含交叉乘积项 $ab$。
2. 应用基本不等式：利用 $x^2+y^2\ge 2|xy|$，令 $x=a,y=2b$，建立已知条件与乘积项之间的不等关系。
3. 求解最大值：放缩得出 $ab$ 的上界，并检验等号成立的条件是否在实数范围内有解。

✅【答案】

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$\frac{1}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

根据基本不等式，对任意实数 $a,b$，有： $a^2+4b^2\ge 2\sqrt{a^2\cdot 4b^2}=2\sqrt{4a^2{b}^2}=4|ab|\ge 4ab$ 已知 $a^2+4b^2=1$，代入上式得： $1\ge 4|ab|\ge 4ab$ 由此可得： $|ab|\le \frac{1}{4}⟹-\frac{1}{4}\le ab\le \frac{1}{4}$ 因此， $ab$ 的最大值为 $\frac{1}{4}$。

等号成立条件检验： 当且仅当 $a^2=4b^2$ 且 $ab>0$ 时，等号成立。 联立已知条件： $\{\begin{array}{l}{a}^2=4b^2\\ a^2+4b^2=1\end{array}⟹2a^2=1⟹a^2=\frac{1}{2},b^2=\frac{1}{8}$ 取 $a=\frac{\sqrt{2}}{2},b=\frac{\sqrt{2}}{4}$ 时，满足 $ab=\frac{1}{4}>0$，等号可以切实取到。

故答案为 $\frac{1}{4}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：基本不等式 $x^2+y^2\ge 2xy$ 的变形应用；代数式的最值边界判定。
2. 核心方法：配元放缩法。
3. 避坑指南：忽略等号成立的检验。在处理复杂条件最值时，必须确保“一正、二定、三相等”中的等号点在定义域内存在，本题实数集内可取，故结果安全。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为上海高考经典的基础代数填空题，直接考查必修课程中不等式模块的核心工具性结论。
2. 结论推广：本题在几何上对应椭圆 $\frac{x^2}{1}+\frac{y^2}{(1/2{)}^2}=1$ 的动点坐标乘积最值问题。更一般地，若已知 $A{x}^2+B{y}^2=C$ ($A,B,C>0$)，则乘积项 $xy$ 的最大值恒为： $(xy{)}_{\max }=\frac{C}{2\sqrt{AB}}$ 代入本题参数 $A=1,B=4,C=1$，直接口算得 $\frac{1}{2\sqrt{1\times 4}}=\frac{1}{4}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 2014-上海卷文-06 填-基本不等式
• 2008-江苏卷-11 填-条件最值消元
• 2008-江西卷理-11