2013-江西卷文-09 单-抛物线焦半径比

本题导读

本题考查抛物线的标准方程与几何性质，以及抛物线的定义。

📌【题干】

Question

（2013年江西卷(文)） 已知点 $A(2,0)$，抛物线 $C:x^2=4y$ 的焦点为 $F$，射线 $FA$ 与抛物线 $C$ 相交于点 $M$，与其准线相交于点 $N$，则 $|FM|:|MN|=$()

A. $2:\sqrt{5}$　　　　　　B. $1:2$　　　　　　C. $1:\sqrt{5}$　　　　　　D. $1:3$

🔍【思路分析】

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1. $F(0,1)$，准线 $y=-1$；射线 $FA$：$x+2y-2=0$（$x⩾0$）。
2. 联立得 $x_M=\sqrt{5}-1$，$y_M=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$ → $|FM|=y_M+1=\frac{5-\sqrt{5}}{2}$。
3. $N(4,-1)$，$|FN|=2\sqrt{5}$；$|MN|=|FN|-|FM|=\frac{5(\sqrt{5}-1)}{2}$。
4. 比值 $=\frac{5-\sqrt{5}}{5(\sqrt{5}-1)}=\frac{\sqrt{5}}{5}=\frac{1}{\sqrt{5}}$。

✅【答案】

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（C）

✍【详细解析】

Abstract

由 $x^2=4y$ 得 $F(0,1)$，准线 $y=-1$。 射线 $FA$ 过 $(0,1)$、$(2,0)$：方程 $x+2y-2=0$（$x⩾0$）。 定 $M$：代入 $y=1-\frac{x}{2}$ 入 $x^2=4y$： $x^2=4-2x\Rightarrow x^2+2x-4=0\Rightarrow x=\sqrt{5}-1(\text{取正}).$ $y_M=1-\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$。 由抛物线定义（$p=2$）：$|FM|=y_M+\frac{p}{2}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}+1=\frac{5-\sqrt{5}}{2}$。 定 $N$：$y=-1$ 代入射线方程 $x=4$，$N(4,-1)$，$|FN|=\sqrt{4^2+(-2{)}^2}=2\sqrt{5}$。 $F$、$M$、$N$ 共线且 $M$ 在 $F$、$N$ 之间，故 $|MN|=|FN|-|FM|=2\sqrt{5}-\frac{5-\sqrt{5}}{2}=\frac{5\sqrt{5}-5}{2}=\frac{5(\sqrt{5}-1)}{2}.$ $\frac{|FM|}{|MN|}=\frac{5-\sqrt{5}}{5(\sqrt{5}-1)}=\frac{\sqrt{5}(\sqrt{5}-1)}{5(\sqrt{5}-1)}=\frac{\sqrt{5}}{5}=\frac{1}{\sqrt{5}}.$ 即 $|FM|:|MN|=1:\sqrt{5}$。 选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线的定义与焦半径

核心方法：$F(0,1)$，准线 $y=-1$；射线 $FA$：$x+2y-2=0$，与 $x^2=4y$ 联立得 $M$，$y_M=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$；$|FM|=y_M+1$，$|FN|=2\sqrt{5}$ → $|FM|:|MN|=\sqrt{5}:5=1:\sqrt{5}$

避坑指南：抛物线上点到焦点距离一律转化为到准线距离：$|FM|=y_M+\frac{p}{2}$；$N$ 在准线上，$|FN|$ 用两点间距离算，$|MN|=|FN|-|FM|$（三点共线、$M$ 在 $F$、$N$ 之间）——忘掉定义去硬算 $\sqrt{(x_M{)}^2+(y_M-1{)}^2}$ 会事倍功半。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：抛物线的焦点、准线与焦半径（射线与抛物线、准线交点）。

结论推广：抛物线定义转化；联立定交点。

方法推广：写射线方程 → 联立抛物线定 $M$ → 焦半径化纵坐标 → $|MN|=|FN|-|FM|$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2013-北京卷文-09 填-抛物线焦点准线
• 2013-新课标II卷文-10 单-抛物线焦点弦
• 2013-新课标I卷文-08 单-抛物线焦点三角形