2013-江西卷文-16 解-数列因式分解裂项

本题导读

本题考查数列的通项公式。核心在于因式分解、裂项相消的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年江西卷(文)） 正项数列 $\{a_n\}$ 满足：$a_n^2-(2n-1)a_n-2n=0$.

(1)求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；

(2)令 $b_n=\frac{1}{(n+1)a_n}$，求数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $(a_n-2n)(a_n+1)=0$，正项 → $a_n=2n$。
2. $b_n=\frac{1}{2n(n+1)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)$。
3. $T_n=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)=\frac{n}{2(n+1)}$。

✅【答案】

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(1)$a_n=2n$；(2)$T_n=\frac{n}{2(n+1)}$

✍【详细解析】

Abstract

（1） 把 $a_n$ 视为未知数，方程为关于 $a_n$ 的一元二次方程： $a_n^2-(2n-1)a_n-2n=(a_n-2n)(a_n+1)=0.$ 故 $a_n=2n$ 或 $a_n=-1$；由 $\{a_n\}$ 是正项数列，舍去 $a_n=-1$，得 $a_n=2n.$ （2） $b_n=\frac{1}{(n+1)\cdot 2n}=\frac{1}{2n(n+1)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)$. 于是 $T_n=\frac{1}{2}\left[\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\cdots +\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\right]=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)=\frac{n}{2(n+1)}.$ （可以 $n=1$ 验证：$b_1=\frac{1}{4}$，$T_1=\frac{1}{2\times 2}=\frac{1}{4}$ ✓）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：因式分解求通项 + 裂项相消求和

核心方法：$a_n^2-(2n-1)a_n-2n=(a_n-2n)(a_n+1)=0$ → $a_n=2n$；$b_n=\frac{1}{2n(n+1)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)$ → $T_n=\frac{n}{2(n+1)}$

避坑指南：把 $a_n$ 当整体十字相乘：$a_n^2-(2n-1)a_n-2n$ 分解为 $(a_n-2n)(a_n+1)$，注意 $-2n$ 与 $-(2n-1)$ 的符号搭配；正项数列舍 $a_n=-1$；裂项时 $b_n=\frac{1}{(n+1)a_n}$ 分母里还有个 $2$，漏掉会得 $T_n=\frac{n}{n+1}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：数列方程（因式分解定通项）与裂项相消求和。

结论推广：整体十字相乘；裂项相消。

方法推广：解 $a_n$ 的二次方程 → 取正根 → $b_n$ 裂项 → 首尾相消。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型

类题演练 (Links)

• 2013-大纲卷文-17 解-等差数列与裂项求和
• 2013-新课标I卷文-17 解-等差数列裂项求和
• 2013-新课标II卷文-17 解-等差数列