2013-新课标I卷文-17 解-等差数列裂项求和

本题导读

本题考查等差数列的前n项和。核心在于基本量法求通项、裂项相消的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年新课标I卷(文)） 已知等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$ 满足 $S_3=0$，$S_5=-5$.

(1)求 $\{a_n\}$ 的通项公式；

(2)求数列 $\left\{\frac{1}{a_{2n-1}{a}_{2n+1}}\right\}$ 的前 $n$ 项和.

🔍【思路分析】

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1. 由 $S_3=3a_1+3d=0$、$S_5=5a_1+10d=-5$ 解得 $a_1=1$，$d=-1$。
2. $a_{2n-1}=3-2n$、$a_{2n+1}=1-2n$，裂项 $\frac{1}{a_{2n-1}{a}_{2n+1}}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2n-3}-\frac{1}{2n-1}\right)$。

✅【答案】

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(1)$a_n=2-n$；(2)$\frac{n}{1-2n}$

✍【详细解析】

Abstract

（1） 设公差为 $d$。由 $S_3=3a_1+\frac{3\times 2}{2}d=3a_1+3d=0$ 得 $a_1+d=0$，即 $a_1=-d$。 由 $S_5=5a_1+\frac{5\times 4}{2}d=5a_1+10d=-5$ 得 $a_1+2d=-1$。 联立解得 $d=-1$，$a_1=1$，故 $a_n=a_1+(n-1)d=1-(n-1)=2-n.$ （2） 由（1）得 $a_{2n-1}=2-(2n-1)=3-2n,a_{2n+1}=2-(2n+1)=1-2n,$ 故 $\frac{1}{a_{2n-1}{a}_{2n+1}}=\frac{1}{(3-2n)(1-2n)}=\frac{1}{(2n-3)(2n-1)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2n-3}-\frac{1}{2n-1}\right).$ 设前 $n$ 项和为 $T_n$，则 $T_n=\frac{1}{2}\left[\left(\frac{1}{-1}-\frac{1}{1}\right)+\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}\right)+\cdots +\left(\frac{1}{2n-3}-\frac{1}{2n-1}\right)\right]=\frac{1}{2}\left(-1-\frac{1}{2n-1}\right).$ 化简得 $T_n=-\frac{1}{2}\cdot \frac{2n}{2n-1}=\frac{n}{1-2n}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差数列的前 $n$ 项和、裂项相消法

核心方法：基本量法求通项、裂项相消求和

避坑指南：裂项系数 $\frac{1}{2}$ 别丢；$a_{2n-1}{a}_{2n+1}$ 两因式相差 $2$，标准裂项即 $\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a_{2n+1}}-\frac{1}{a_{2n-1}}\right)$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等差数列与数列求和（裂项相消）。

结论推广：若 $\{b_n\}$ 为等差数列且公差 $d\ne 0$，则 $\frac{1}{b_n{b}_{n+1}}=\frac{1}{d}\left(\frac{1}{b_n}-\frac{1}{b_{n+1}}\right)$。

方法推广：求和题先判型：等差、等比用公式，分式型优先看能否裂项。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型

类题演练 (Links)

• 2015-新课标I卷文-07 单-等差数列
• 2014-新课标I卷文-17 解-等差数列错位相减