2013-江西卷文-19 解-直四棱柱垂直距离

本题导读

本题考查直线与平面垂直的判定。核心在于建系坐标法、法向量法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年江西卷(文)） 如图，直四棱柱 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，$AB\parallel CD$，$AD\perp AB$，$AB=2$，$AD=\sqrt{2}$，$A{A}_1=3$，$E$ 为 $CD$ 上一点，$DE=1$，$EC=3$.

(1)证明：$BE\perp$ 平面 $B{B}_1{C}_{1}C$；

(2)求点 $B_1$ 到平面 $E{A}_1{C}_1$ 的距离.

🔍【思路分析】

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1. 建系：$A(0,0,0)$，$B(2,0,0)$，$D(0,\sqrt{2},0)$，$C(4,\sqrt{2},0)$，$E(1,\sqrt{2},0)$，$A_1(0,0,3)$，$B_1(2,0,3)$，$C_1(4,\sqrt{2},3)$。
2. $(1)$ $\overrightarrow{BE}=(-1,\sqrt{2},0)$，$\overrightarrow{B{B}_1}=(0,0,3)$，$\overrightarrow{BC}=(2,\sqrt{2},0)$，两个数量积均为 0。
3. $(2)$ 平面 $E{A}_1{C}_1$ 法向量 $n=(1,-2\sqrt{2},-1)$；$\overrightarrow{E{B}_1}=(1,-\sqrt{2},3)$。
4. $d=\frac{|\overrightarrow{E{B}_1}\cdot n|}{|n|}=\frac{2}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$。

✅【答案】

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(1)见解析；(2)$\frac{\sqrt{10}}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

因为 $AD\perp AB$、$AB\parallel CD$，以 $A$ 为原点、$AB$，$AD$，$A{A}_1$ 所在直线为 $x$，$y$，$z$ 轴建系。 由 $AB=2$，$AD=\sqrt{2}$，$CD=DE+EC=4$，$A{A}_1=3$，$DE=1$： $A(0,0,0),B(2,0,0),D(0,\sqrt{2},0),C(4,\sqrt{2},0),E(1,\sqrt{2},0),$ $A_1(0,0,3),B_1(2,0,3),C_1(4,\sqrt{2},3).$ （1） $\overrightarrow{BE}=(-1,\sqrt{2},0)$。 $\overrightarrow{B{B}_1}=(0,0,3)$，$\overrightarrow{BE}\cdot \overrightarrow{B{B}_1}=0$； $\overrightarrow{BC}=(2,\sqrt{2},0)$，$\overrightarrow{BE}\cdot \overrightarrow{BC}=-2+2=0$。 又 $B{B}_1\cap BC=B$，$B{B}_1\subset$ 平面 $B{B}_1{C}_{1}C$，$BC\subset$ 平面 $B{B}_1{C}_{1}C$， 所以 $BE\perp$ 平面 $B{B}_1{C}_{1}C$。 （2） $\overrightarrow{A_{1}E}=(1,\sqrt{2},-3)$，$\overrightarrow{A_1{C}_1}=(4,\sqrt{2},0)$。 设平面 $E{A}_1{C}_1$ 的法向量 $n=(x,y,z)$： $\{\begin{array}{l}x+\sqrt{2}y-3z=0,\\ 4x+\sqrt{2}y=0.\end{array}$ 取 $x=1$：由第二式 $y=-\frac{4}{\sqrt{2}}=-2\sqrt{2}$；代入第一式 $1-4-3z=0$，得 $z=-1$。 故 $n=(1,-2\sqrt{2},-1)$，$|n|=\sqrt{1+8+1}=\sqrt{10}$。 $\overrightarrow{E{B}_1}=(1,-\sqrt{2},3)$， $d=\frac{|\overrightarrow{E{B}_1}\cdot n|}{|n|}=\frac{|1+4-3|}{\sqrt{10}}=\frac{2}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{5}.$ 所以点 $B_1$ 到平面 $E{A}_1{C}_1$ 的距离为 $\frac{\sqrt{10}}{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：直四棱柱中的线面垂直与点到平面的距离

核心方法：建系：$A(0,0,0)$，$B(2,0,0)$，$D(0,\sqrt{2},0)$，$C(4,\sqrt{2},0)$，$E(1,\sqrt{2},0)$，$A_1(0,0,3)$，$B_1(2,0,3)$，$C_1(4,\sqrt{2},3)$；$\overrightarrow{BE}\cdot \overrightarrow{B{B}_1}=\overrightarrow{BE}\cdot \overrightarrow{BC}=0$；平面 $E{A}_1{C}_1$ 法向量 $n=(1,-2\sqrt{2},-1)$ → $d=\frac{|\overrightarrow{E{B}_1}\cdot n|}{|n|}=\frac{\sqrt{10}}{5}$

避坑指南：四边形 $ABCD$ 中 $CD=DE+EC=4$ 而 $AB=2$，是梯形不是平行四边形——$C$ 的横坐标是 $4$ 不是 $2$；$AD=\sqrt{2}$、$AD\perp AB$ 给出 $D$ 的纵坐标；求距离用法向量时 $\overrightarrow{E{B}_1}$ 的起点必须在平面内（取 $E$），起点选错平面外一点会算错投影。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：直四棱柱中的线面垂直证明与点面距（向量法）。

结论推广：建系坐标法；法向量求距离。

方法推广：定坐标 → 数量积证垂直 → 求平面法向量 → 投影公式。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 21.02 空间向量与线面位置关系判定
• 21.04 空间向量求距离

类题演练 (Links)

• 2013-新课标I卷文-19 解-线面垂直与棱柱体积
• 2013-北京卷文-17 解-线面垂直面面垂直
• 2013-安徽卷文-18 解-菱形四棱锥垂直