2013-新课标I卷文-19 解-线面垂直与棱柱体积

本题导读

本题考查线面垂直的判定与性质。核心在于构造中点证垂直、底面积乘高的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年新课标I卷(文)） 如图，三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 中，$CA=CB$，$AB=A{A}_1$，$\angle BA{A}_1=60^{\circ }$.

(1)证明：$AB\perp A_{1}C$；

(2)若 $AB=CB=2$，$A_{1}C=\sqrt{6}$，求三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 的体积.

🔍【思路分析】

破题导航

1. （1）取 $AB$ 中点 $M$，则 $CM\perp AB$；又 $△AB{A}_1$ 为等边三角形，$A_{1}M\perp AB$，从而 $AB\perp$ 平面 $A_{1}MC$，故 $AB\perp A_{1}C$。
2. （2）算 $CM=\sqrt{3}$、$A_{1}M=\sqrt{3}$，结合 $A_{1}C=\sqrt{6}$ 得 $A_{1}M\perp CM$，故 $A_{1}M\perp$ 平面 $ABC$，$V=S_{△ABC}\cdot A_{1}M$。

✅【答案】

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(1)证明见解析；(2)$3$

✍【详细解析】

Abstract

（1） 取 $AB$ 的中点 $M$，连接 $CM$，$A_{1}M$。 因为 $CA=CB$，$M$ 为 $AB$ 中点，所以 $CM\perp AB$。 又 $AB=A{A}_1$，$\angle BA{A}_1=60^{\circ }$，故 $△AB{A}_1$ 为等边三角形，$A_{1}M\perp AB$。 因为 $CM\cap A_{1}M=M$，所以 $AB\perp$ 平面 $A_{1}MC$。 而 $A_{1}C\subset$ 平面 $A_{1}MC$，故 $AB\perp A_{1}C$。

（2） 由（1）知 $△AB{A}_1$ 为边长为 $2$ 的等边三角形，故 $A_{1}M=\sqrt{3}$。 又 $CA=CB$、$AB=2$，故 $CM=\sqrt{C{B}^2-B{M}^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。 在 $△A_{1}MC$ 中，$A_1{M}^2+C{M}^2=3+3=6=A_1{C}^2$，故 $\angle A_{1}MC=90^{\circ }$，即 $A_{1}M\perp CM$。 又 $A_{1}M\perp AB$，$AB\cap CM=M$，所以 $A_{1}M\perp$ 平面 $ABC$，即 $A_{1}M$ 为三棱柱的高。 底面 $△ABC$ 中 $CA=CB=2$、$AB=2$ 为等边三角形，面积 $S_{△ABC}=\frac{\sqrt{3}}{4}\times 2^2=\sqrt{3}.$ 故三棱柱的体积 $V=S_{△ABC}\cdot A_{1}M=\sqrt{3}\times \sqrt{3}=3.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线面垂直的判定与性质、棱柱的体积

核心方法：构造中点证垂直（垂线法）、底面积乘高

避坑指南：证明线线垂直的通用路径是”证线面垂直”：找到两条相交直线都与目标直线垂直；第二问要先证 $A_{1}M\perp$ 平面 $ABC$ 才能把 $A_{1}M$ 当高。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：空间中的垂直关系与棱柱体积。

结论推广：等腰三角形底边中线垂直底边；等边三角形提供 $\sqrt{3}$ 类长度。

方法推广：立体几何”证垂直”三步：取中点 → 证两组垂直 → 由判定定理得线面垂直，再由性质定理得线线垂直。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷文-19 解-线面垂直与棱柱高
• 2015-新课标I卷文-18 解-立体几何综合