2013-江西卷理-20 解-椭圆方程与性质

本题导读

本题考查椭圆。核心在于待定系数法、坐标运算法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年江西卷(理)） 如图，椭圆 $C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 经过点 $P(1,\frac{3}{2})$，离心率 $e=\frac{1}{2}$，直线 $l$ 的方程为 $x=4$.

(1)求椭圆 $C$ 的方程；

(2)$AB$ 是经过右焦点 $F$ 的任一弦（不经过点 $P$），设直线 $AB$ 与直线 $l$ 相交于点 $M$，记 $PA,PB,PM$ 的斜率分别为 $k_1,k_2,k_3$.问：是否存在常数 $\lambda$，使得 $k_1+k_2=\lambda k_3$？若存在，求 $\lambda$ 的值；若不存在，说明理由.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问（求方程）：
   • 建立方程组：利用点 $P(1,\frac{3}{2})$ 代入椭圆方程得到一个关于 $a,b$ 的等式。利用 $e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$ 得到 $a,c$ 的比例。再结合 $a^2=b^2+c^2$ 联立求解。
2. 第二问（斜率定值）：
   • 设直线方程：右焦点 $F$ 坐标为 $(c,0)=(1,0)$。注意 $P(1,\frac{3}{2})$ 的横坐标也是 1，即 $PF\perp x$ 轴。设直线 $AB$ 的方程为 $x=my+1$（考虑斜率不存在的情况或统一形式）。
   • 联立求坐标：将直线 $AB$ 方程与椭圆方程联立，设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，利用韦达定理得到 $y_1+y_2$ 与 $y_1{y}_2$ 的表达式。
   • 求点 M 坐标：令 $x=4$ 求出 $M$ 点的坐标 $(4,y_M)$。
   • 化简目标式：利用斜率公式写出 $k_1,k_2,k_3$ 的表达式，化简 $k_1+k_2$ 并与 $k_3$ 对比求 $\lambda$。

✅【答案】

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故椭圆 $C$ 的方程为 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$。；故存在常数 $\lambda =2$ 满足题意

✍【详细解析】

Abstract

（1）解： 由题意，$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，则 $a=2c,c^2=\frac{1}{4}{a}^2$。 又 $b^2=a^2-c^2=\frac{3}{4}{a}^2$。 将点 $P(1,\frac{3}{2})$ 代入 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 得： $\frac{1}{a^2}+\frac{9/4}{3/4a^2}=1⟹\frac{1}{a^2}+\frac{3}{a^2}=1⟹\frac{4}{a^2}=1$。 解得 $a^2=4$，则 $b^2=\frac{3}{4}\times 4=3$。 故椭圆 $C$ 的方程为 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$。

（2）解： 由（1）知右焦点 $F(1,0)$。设直线 $AB$ 的方程为 $x=k(y-0)+1$（由于直线 $AB$ 不经过 $P(1,\frac{3}{2})$，则 $k$ 存在且 $k\ne 0$）。 设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，联立方程： $\{\begin{array}{l}x=ky+1\\ 3x^2+4y^2=12\end{array}⟹3(ky+1{)}^2+4y^2-12=0$ 整理得：$(3k^2+4)y^2+6ky-9=0$。 由韦达定理得：$y_1+y_2=\frac{-6k}{3k^2+4},y_1{y}_2=\frac{-9}{3k^2+4}$。 在直线 $AB:x-1=ky$ 中，令 $x=4$，得 $y_M=\frac{3}{k}$。故 $M(4,\frac{3}{k})$。 已知 $P(1,\frac{3}{2})$，计算斜率： $k_3=\frac{y_M-3/2}{4-1}=\frac{3/k-3/2}{3}=\frac{1}{k}-\frac{1}{2}=\frac{2-k}{2k}$。 $k_1+k_2=\frac{y_1-3/2}{x_1-1}+\frac{y_2-3/2}{x_2-1}$ 代入 $x_1-1=k{y}_1,x_2-1=k{y}_2$： $k_1+k_2=\frac{y_1-3/2}{k{y}_1}+\frac{y_2-3/2}{k{y}_2}=\frac{1}{k}(1-\frac{3}{2y_1}+1-\frac{3}{2y_2})=\frac{1}{k}(2-\frac{3(y_1+y_2)}{2y_1{y}_2})$ 将韦达定理代入：$\frac{y_1+y_2}{y_1{y}_2}=\frac{-6k}{-9}=\frac{2k}{3}$。 $k_1+k_2=\frac{1}{k}(2-\frac{3}{2}\cdot \frac{2k}{3})=\frac{2-k}{k}$。 观察发现：$k_1+k_2=2\cdot \frac{2-k}{2k}=2k_3$。 故存在常数 $\lambda =2$ 满足题意。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：直线与椭圆联立的标准化流程。 2. 计算技巧：在处理斜率和 $k_1,k_2$ 时，利用直线方程 $x-1=ky$ 进行代换可以极大简化分母，避免了直接代入坐标带来的繁琐运算。 3. 特殊性与一般性：本题中点 $P$ 的横坐标恰好与焦点相同，这在化简过程中起到了结构性对称的作用。

核心方法：见详细解析

避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：极点极弦性质、圆锥曲线的第二定义。

结论推广：此结论与椭圆的“调和分割”性质有关。当直线经过焦点时，相关斜率往往存在固定的线性关系。

方法推广：见详细解析

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.06 离心率专题
• 18.05 圆锥曲线大题核心攻略

类题演练 (Links)

• 2014-重庆卷文-21 解-椭圆与圆
• 2014-辽宁卷文-20 解-椭圆方程
• 2014-湖南卷文-06 单-圆与圆