2014-湖南卷文-06 单-圆与圆

本题导读

$C_2$ 配方求半径，用外切条件 $d=r_1+r_2$。

📌【题干】

Question

（2014年湖南卷(文)） 若圆 $C_1:x^2+y^2=1$ 与圆 $C_2:x^2+y^2-6x-8y+m=0$ 外切，则 $m=$ ()

A. $21$　　　　　　　B. $19$　　　　　　　C. $9$　　　　　　　D. $-11$

🔍【思路分析】

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$C_2$ 配方得 $(x-3{)}^2+(y-4{)}^2=25-m$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

$C_1$ 的圆心为 $(0,0)$，半径 $r_1=1$。$C_2$ 配方得 $(x-3{)}^2+(y-4{)}^2=25-m$，圆心 $(3,4)$，半径 $r_2=\sqrt{25-m}$（需 $m<25$）。两圆外切时圆心距等于半径之和：$\sqrt{3^2+4^2}=5=1+\sqrt{25-m}$，故 $\sqrt{25-m}=4$，$m=9$（满足 $m<25$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆与圆的位置关系

2. 核心方法：配方法求圆心半径、外切用圆心距

3. 避坑指南：先把 $C_2$ 配方成标准式得 $R=\sqrt{25-m}$（注意 $m<25$）；外切条件是 $d=R+r$，代入得 $\sqrt{25-m}=4$，故 $m=9$，可回代检验。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 圆的方程与位置关系。

2. 结论推广: 外切：$d=r_1+r_2$；内切：$d=|r_1-r_2|$；相交：$|r_1-r_2|<d<r_1+r_2$。

3. 方法推广: 含参圆的位置关系问题，配方后写出圆心与半径，再按位置关系列方程，最后检验参数是否使半径为正。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.04 圆与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2014-安徽卷理-10 单-坐标表示
• 2014-新课标I卷理-20 解-椭圆方程与性质