2013-浙江卷文-14 填-程序框图

本题导读

本题考查程序框图，以及循环结构。

📌【题干】

Question

（2013年浙江卷(文)） 若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值等于$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 逐轮：$k=1$（$k>4$ 否）$S=1+\frac{1}{2}$，$k=2$；$k=2$：$S=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}$，$k=3$；$k=3$：再加 $\frac{1}{12}$，$k=4$；$k=4$：再加 $\frac{1}{20}$，$k=5$。
2. $k=5>4$ → 输出。
3. $S=1+\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right)+\cdots +\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{5}\right)=1+\frac{4}{5}=\frac{9}{5}$。

✅【答案】

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$\frac{9}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

按框图模拟：初值 $S=1$，$k=1$。 判断 $k>4$：$k=1,2,3,4$ 时均不成立，各执行一次”$S=S+\frac{1}{k(k+1)}$，$k=k+1$“；当 $k=5$ 时 $k>4$ 成立，输出 $S$。 所以 $S=1+{\sum }_{k=1}^4\frac{1}{k(k+1)}=1+{\sum }_{k=1}^4\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)=1+\left(1-\frac{1}{5}\right)=\frac{9}{5}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：程序框图（循环结构 + 裂项求和）

核心方法：循环体执行 4 轮（$k=1,2,3,4$），$S=1+{\sum }_{k=1}^4\frac{1}{k(k+1)}=1+\left(1-\frac{1}{5}\right)=\frac{9}{5}$

避坑指南：退出条件 $k>4$ 在累加之前判断：$k=5$ 时直接输出，所以只加到 $\frac{1}{4\times 5}$——把判断框位置看反（先累加后判断）会多加一项；$\frac{1}{k(k+1)}$ 认出裂项 $\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$ 可口算收尾。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：程序框图的循环结构（累加型）。

结论推广：循环 4 轮：$k=1,2,3,4$ 时各累加一次，$k=5$ 时 $k>4$ 成立退出；$\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$。

方法推广：框图题逐轮列表追踪变量，到输出框为止；累加式含 $\frac{1}{k(k+1)}$ 型时用裂项相消快速求和。

🔗【关联脉络】

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类题演练 (Links)

• 2013-北京卷文-06 单-程序框图
• 2013-山东卷文-06 单-程序框图
• 2014-天津卷文-11 填-程序框图