2013-浙江卷理-07 单-数量积的坐标运算

本题导读

本题考查平面向量的数量积，以及数量积的坐标运算。

📌【题干】

Question

（2013年浙江卷(理)） 7. 设 $△ABC$，$P_0$ 是边 $AB$ 上一定点，满足 $P_{0}B=\frac{1}{4}AB$，且对于边 $AB$ 上任一点 $P$，恒有 $\overrightarrow{PB}\cdot \overrightarrow{PC}\ge \overrightarrow{P_{0}B}\cdot \overrightarrow{P_{0}C}$，则 $($\quad\quad$)$

A. $\angle ABC=90^{\circ }$　　　B. $\angle BAC=90^{\circ }$　　　C. $AB=AC$　　　D. $AC=BC$

🔍【思路分析】

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1. 坐标建系：由于问题涉及边 $AB$ 上的动点 $P$，以 $AB$ 所在直线为 $x$ 轴，以 $AB$ 的中垂线为 $y$ 轴建立直角坐标系。
2. 坐标表示：设 $AB=4$，则可表示出 $A,B,P_0$ 的坐标。设 $C$ 为不在 $x$ 轴上的任意点 $(a,b)$。
3. 转化不等式：将向量 $\overrightarrow{PB},\overrightarrow{PC}$ 等用坐标表示，计算数量积。
4. 恒成立分析：数量积关于 $P$ 点横坐标 $x$ 是一个开口向上的二次函数，其在给定区间（或全集）上的最小值点为 $P_0$。结合二次函数对称轴与最小值的关系，求得 $C$ 点横坐标 $a$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

第一步：建立坐标系 以 $AB$ 所在的直线为 $x$ 轴，以 $AB$ 的中垂线为 $y$ 轴建立平面直角坐标系。 设 $AB=4$，则 $A(-2,0)$，$B(2,0)$。 因为 $P_{0}B=\frac{1}{4}AB=1$，且 $P_0$ 在 $AB$ 上，所以 $P_0(1,0)$。 设 $C(a,b)$，动点 $P(x,0)$，其中 $x\in [-2,2]$。

第二步：向量坐标化及数量积计算 $\overrightarrow{PB}=(2-x,0)$ $\overrightarrow{PC}=(a-x,b)$ 则 $\overrightarrow{PB}\cdot \overrightarrow{PC}=(2-x)(a-x)+0\cdot b=x^2-(a+2)x+2a$。

对于 $P_0(1,0)$，其对应的横坐标 $x=1$： $\overrightarrow{P_{0}B}\cdot \overrightarrow{P_{0}C}=(2-1)(a-1)=a-1$。

第三步：利用恒成立条件求解 已知 $\overrightarrow{PB}\cdot \overrightarrow{PC}\ge \overrightarrow{P_{0}B}\cdot \overrightarrow{P_{0}C}$ 恒成立，即： $x^2-(a+2)x+2a\ge a-1$ 整理得：$x^2-(a+2)x+a+1\ge 0$。

该二次函数 $f(x)=x^2-(a+2)x+a+1$ 对任意 $x\in [-2,2]$ 均满足 $f(x)\ge 0$，且已知当 $x=1$ 时取得最小值（或最小值之一）。 由二次函数性质可知，若最小值在 $x=1$ 处取得，且该点处函数值为 0（因为 $f(1)=1-(a+2)+a+1=0$ 恰好成立），则该点必须是抛物线的顶点。

因此，对称轴 $x=\frac{a+2}{2}=1$。 解得：$a=0$。

第四步：结论判定 因为 $a=0$，说明顶点 $C$ 的坐标为 $(0,b)$，即 $C$ 点在 $AB$ 的垂直平分线上（$y$ 轴）。 由垂直平分线的性质可知：$AC=BC$。 即 $△ABC$ 是以 $AB$ 为底边的等腰三角形。

故选：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量数量积的坐标运算；二次函数最值与对称轴的关系。

核心方法：“几何问题坐标化”。当题目中出现定点、中点或特定比例分割点时，建立合适的直角坐标系能将抽象的向量关系转化为具体的代数运算。

避坑指南：注意 $P$ 是 $AB$ 上的任一点。如果题目要求最小值在区间内部取得，通常意味着该点就是二次函数的顶点。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：向量的投影意义（$\overrightarrow{PB}\cdot \overrightarrow{PC}$ 等于 $PB$ 长度乘以 $PC$ 在 $PB$ 上的投影长度）。

结论推广：若 $\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}$ 取得最小值，则 $P$ 为 $AB$ 的中点。

方法推广：涉及“恒有 $\cdots \ge \dots$”且等号在某点取得时，往往转化成函数在对应点的导数为 0 或为顶点。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 09.01 平面向量基本概念
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2026-新高考II卷-03 单-数量积
• 2026-天津卷-14 填-数量积
• 2023-新高考I卷-03 单-数量积