2013-湖北卷文-06 单-三角图象平移对称

本题导读

本题考查三角恒等变换，以及三角函数的图象平移。

📌【题干】

Question

（2013年湖北卷(文)） 将函数 $y=\sqrt{3}\cos x+\sin x$（$x\in \mathbf{R}$）的图象向左平移 $m$（$m>0$）个单位长度后，所得到的图象关于 $y$ 轴对称，则 $m$ 的最小值是()

A. $\frac{\pi }{12}$　　　　　　　B. $\frac{\pi }{6}$　　　　　　　C. $\frac{\pi }{3}$　　　　　　　D. $\frac{5\pi }{6}$

🔍【思路分析】

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1. $y=2\cos \left(x-\frac{\pi }{6}\right)$；左移 $m$ 后 $y=2\cos \left(x+m-\frac{\pi }{6}\right)$。
2. 关于 $y$ 轴对称 ⟺ $m-\frac{\pi }{6}=k\pi$（$k\in \mathbf{Z}$）。
3. $m=\frac{\pi }{6}+k\pi$，取 $k=0$ 得最小值 $m=\frac{\pi }{6}$。

✅【答案】

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（B）

✍【详细解析】

Abstract

由辅助角公式： $y=\sqrt{3}\cos x+\sin x=2\cos \left(x-\frac{\pi }{6}\right).$ 向左平移 $m$ 个单位后： $y=2\cos \left(x+m-\frac{\pi }{6}\right).$ 其图象关于 $y$ 轴对称 ⟺ 该函数为偶函数 ⟺ 对一切 $x$ 有 $\cos \left(-x+m-\frac{\pi }{6}\right)=\cos \left(x+m-\frac{\pi }{6}\right),$ 即 $m-\frac{\pi }{6}=k\pi$（$k\in \mathbf{Z}$）。 故 $m=\frac{\pi }{6}+k\pi$；由 $m>0$，取 $k=0$ 得 $m_{\min }=\frac{\pi }{6}.$ 选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角函数图象平移与对称性

核心方法：$y=\sqrt{3}\cos x+\sin x=2\cos \left(x-\frac{\pi }{6}\right)$；左移 $m$ 后为 $2\cos \left(x+m-\frac{\pi }{6}\right)$，关于 $y$ 轴对称 ⟺ $m-\frac{\pi }{6}=k\pi$ → $m_{\min }=\frac{\pi }{6}$

避坑指南：先把 $\sqrt{3}\cos x+\sin x$ 化成 $2\cos \left(x-\frac{\pi }{6}\right)$（注意 $\cos$ 在前），再左移；“关于 $y$ 轴对称” ⟺ 余弦型函数的初相 $m-\frac{\pi }{6}=k\pi$（不是 $\frac{\pi }{2}+k\pi$，那是关于原点对称/正弦型轴对称）；$m>0$ 取最小正解。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：辅助角公式、图象平移与轴对称（湖北卷选择题）。

结论推广：辅助角公式化一角一名；偶函数 ⟺ 初相 $k\pi$。

方法推广：化简 → 平移 → 令初相为 $k\pi$ → 取最小正 $m$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2013-新课标II卷文-16 填-三角函数图象平移
• 2013-福建卷文-09 单-三角图象平移
• 2013-安徽卷文-16 解-三角和角与变换