2013-湖北卷理-20 解-正态分布的性质与概率计算

本题导读

本题考查正态分布。核心在于正态分布区间概率对称法、线性规划图解法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年湖北卷(理)） 假设每天从甲地去乙地的旅客人数 $X$ 是服从正态分布 $N(800,50^2)$ 的随机变量.记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过 900 的概率为 $P_0$. 求 $P_0$ 的值；

(1)（参考数据：若 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，有 $P(\mu -\sigma <X\le \mu +\sigma )=0.6826$，$P(\mu -2\sigma <X\le \mu +2\sigma )=0.9544$，$P(\mu -3\sigma <X\le \mu +3\sigma )=0.9774$.）

(2)某客运公司用 $A,B$ 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每辆每天往返一次，$A,B$ 两种车辆的载客量分别为 36 人和 60 人，从甲地去乙地的营运成本分别为 1600 元/辆和 2400 元/辆.公司拟组建一个不超过 21 辆车的客运车队，并要求 $B$ 型车不多于 $A$ 型车 7 辆.若每天要以不小于 $P_0$ 的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备 $A$ 型车、$B$ 型车各多少辆？

🔍【思路分析】

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1. 第一问（求 $P_0$）：
   • 识别参数：$\mu =800,\sigma =50$。
   • 目标概率：$P(X\le 900)$。
   • 计算区间：$900=\mu +2\sigma$。
   • 利用对称性：$P(X\le \mu +2\sigma )=P(X\le \mu )+P(\mu <X\le \mu +2\sigma )=0.5+\frac{1}{2}P(\mu -2\sigma <X\le \mu +2\sigma )$。
2. 第二问（线性规划）：
   • 设变量：设配备 $A$ 型车 $x$ 辆，$B$ 型车 $y$ 辆 ($x,y\in \mathbb{N}$)。
   • 列约束条件：
     1. 车辆总数限制：$x+y\le 21$。
     2. 车辆构成限制：$y-x\le 7$。
     3. 运完旅客的概率条件：要求运载量 $36x+60y\ge$ 某个人数 $k$，使得在该运载量下，旅客能被运完的概率 $\ge P_0$。由第一问知旅客人数 $\le 900$ 的概率即为 $P_0$，故运载量必须满足 $36x+60y\ge 900$。
   • 目标函数：营运成本 $z=1600x+2400y$，即 $z=800(2x+3y)$。
   • 求解：画出可行域，通过平移基准直线 $2x+3y=0$ 寻找最小值点，并注意整数解的要求。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

（Ⅰ）解： 由题意 $X\sim N(800,50^2)$，则 $\mu =800,\sigma =50$。 $P_0=P(X\le 900)=P(X\le 800+2\times 50)=P(X\le \mu +2\sigma )$。 利用正态分布曲线的对称性： $P_0=0.5+\frac{1}{2}P(\mu -2\sigma <X\le \mu +2\sigma )$ 代入参考数据： $P_0=0.5+\frac{1}{2}\times 0.9544=0.5+0.4772=0.9772$

（Ⅱ）解： 设需配备 $A$ 型车 $x$ 辆，$B$ 型车 $y$ 辆，营运成本为 $z$ 元。 由题意得约束条件： $\{\begin{array}{l}x+y\le 21\\ y-x\le 7\\ 36x+60y\ge 900\\ x,y\in \mathbb{N}\end{array}⟹\{\begin{array}{l}x+y\le 21\\ x-y\ge -7\\ 3x+5y\ge 75\\ x,y\in \mathbb{N}\end{array}$ 目标函数为 $z=1600x+2400y$。 令 $z_0=2x+3y$，则 $z=800z_0$。欲使 $z$ 最小，只需使 $z_0=2x+3y$ 最小。

作出可行域如图所示（图中阴影部分内的整数点）：

• 直线 $l_1:x+y=21$
• 直线 $l_2:x-y=-7$
• 直线 $l_3:3x+5y=75$

平移直线 $2x+3y=0$，当经过 $l_2$ 与 $l_3$ 的交点 $M$ 时，$z_0$ 取得最小值。 联立方程组： $\{\begin{array}{l}x-y=-7\\ 3x+5y=75\end{array}⟹\{\begin{array}{l}x=5\\ y=12\end{array}$ 此时交点 $M(5,12)$ 恰好为整数点，且满足 $5+12=17\le 21$，符合所有约束条件。 此时最小成本 $z=1600\times 5+2400\times 12=8000+28800=36800$（元）。

故应配备 $A$ 型车 5 辆，$B$ 型车 12 辆。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正态分布的对称计算；线性规划建模与整数解判定。 2. 核心技巧： - 概率转化：理解“不小于 $P_0$ 的概率运完旅客”意味着车队载客量必须覆盖正态分布中概率为 $P_0$ 的对应人数区间。 - 整数搜索：在线性规划中，若最优交点不是整数，需在交点附近搜索符合条件的整数点。

核心方法：见详细解析

避坑指南：正态分布参数不要看错，${\sigma }^2$ 与 $\sigma$ 要区分；线性规划作图要尽量准确，避免因斜率比较失误导致最优点锁定错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二项分布的正态近似、敏感性分析。

结论推广：实际生活中的排队论、运输问题常通过类似的正态分布叠加线性规划进行优化。

方法推广：对于复杂约束，可使用单纯形法（高等数学背景）或编程求解。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 23.05 正态分布
• 23.03 离散型随机变量及其数字特征

类题演练 (Links)

• 2026-新高考I卷-17 解-概率分布
• 2025-新高考I卷-14 填-概率分布
• 2025-天津卷-05 单-正态分布