2013-湖北卷理-22 解-导数单调性与最值

本题导读

本题考查利用导数研究函数的单调性与最值。核心在于导数法、构造函数法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年湖北卷(理)） 设 $n$ 为正整数，$r$ 为正有理数.

(1)求函数 $f(x)=(1+x{)}^{r+1}-(r+1)x-1$ ($x>-1$) 的最小值；

(2)证明：$\frac{n^{r+1}-(n-1{)}^{r+1}}{r+1}<n^r<\frac{(n+1{)}^{r+1}-n^{r+1}}{r+1}$；

(3)设 $x\in \mathbb{R}$，记 $\lceil x\rceil$ 为不小于 $x$ 的最小整数，例如 $\lceil 2\rceil =2,\lceil \pi \rceil =4,\lceil -\frac{3}{2}\rceil =-1$. 令 $S=\sqrt[3]{81}+\sqrt[3]{82}+\sqrt[3]{83}+\cdots +\sqrt[3]{125}$，求 $\lceil S\rceil$ 的值. （参考数据：$80^{\frac{4}{3}}\approx 344.7,81^{\frac{4}{3}}\approx 350.5,124^{\frac{4}{3}}\approx 618.3,125^{\frac{4}{3}}=625,126^{\frac{4}{3}}\approx 631.7$）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问（函数最值）：对 $f(x)$ 求导，得到 $f^{\prime }(x)=(r+1)[(1+x{)}^r-1]$。分析导数零点 $x=0$ 左右的单调性，即可锁定最小值。
2. 第二问（不等式证明）：
   • 结构观察：待证不等式两边均含有积分形式的结构，或者可以转化为伯努利不等式。
   • 转化：由（Ⅰ）结论知 $(1+x{)}^{r+1}\ge 1+(r+1)x$。
   • 左边证明：令 $x=-\frac{1}{n}$ 代入（此时需注意 $r$ 的性质或直接利用导数单调性证明）。
   • 右边证明：令 $x=\frac{1}{n}$ 代入。
3. 第三问（和的范围估计）：
   • 利用结论：在（Ⅱ）中取 $r=\frac{1}{3}$，得到 $\frac{3}{4}[n^{\frac{4}{3}}-(n-1{)}^{\frac{4}{3}}]<n^{\frac{1}{3}}<\frac{3}{4}[(n+1{)}^{\frac{4}{3}}-n^{\frac{4}{3}}]$。
   • 累加放缩：对 $S={\sum }_{n=81}^{125}{n}^{\frac{1}{3}}$ 进行左右累加。
   • 求值：利用参考数据算出 $S$ 的具体数值区间，结合 $\lceil S\rceil$ 的定义得出答案。

✅【答案】

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左边放缩；右边放缩

✍【详细解析】

Abstract

（Ⅰ）解：

$f^{\prime }(x)=(r+1)(1+x{)}^r-(r+1)=(r+1)[(1+x{)}^r-1]$。 因为 $r>0$，所以： 当 $-1<x<0$ 时，$1+x<1⟹(1+x{)}^r<1⟹f^{\prime }(x)<0$，$f(x)$ 单调递减； 当 $x>0$ 时，$1+x>1⟹(1+x{)}^r>1⟹f^{\prime }(x)>0$，$f(x)$ 单调递增。 所以当 $x=0$ 时，$f(x)$ 取得最小值 $f(0)=(1+0{)}^{r+1}-(r+1)\cdot 0-1=0$。

（Ⅱ）证明：

由（Ⅰ）得，对一切 $x>-1$，有 $(1+x{)}^{r+1}\ge 1+(r+1)x$，当且仅当 $x=0$ 时取等号。 由于 $n$ 为正整数，令 $x=\frac{1}{n}>0$，则： $(1+\frac{1}{n}{)}^{r+1}>1+\frac{r+1}{n}=\frac{n+r+1}{n}$ $\frac{(n+1{)}^{r+1}}{n^{r+1}}>\frac{n+r+1}{n}⟹(n+1{)}^{r+1}>n^r(n+r+1)$（此步推导略繁，可换思路：）

标准证明法： 令 $f(x)=(1+x{)}^{r+1}-1-(r+1)x$。 右边：令 $x=\frac{1}{n}$，则 $f(\frac{1}{n})>0⟹(\frac{n+1}{n}{)}^{r+1}>1+\frac{r+1}{n}⟹\frac{(n+1{)}^{r+1}-n^{r+1}}{n^{r+1}}>\frac{r+1}{n}⟹\frac{(n+1{)}^{r+1}-n^{r+1}}{r+1}>n^r$。 左边：令 $x=-\frac{1}{n}$，则 $f(-\frac{1}{n})>0⟹(\frac{n-1}{n}{)}^{r+1}>1-\frac{r+1}{n}⟹\frac{(n-1{)}^{r+1}}{n^{r+1}}>\frac{n-r-1}{n}$。 通过整理可得 $n^r>\frac{n^{r+1}-(n-1{)}^{r+1}}{r+1}$。

（Ⅲ）解： 在（Ⅱ）的结论中令 $r=\frac{1}{3}$，得： $\frac{3}{4}[n^{\frac{4}{3}}-(n-1{)}^{\frac{4}{3}}]<\sqrt[3]{n}<\frac{3}{4}[(n+1{)}^{\frac{4}{3}}-n^{\frac{4}{3}}]$。 对于 $S={\sum }_{n=81}^{125}\sqrt[3]{n}$： 左边放缩： $S>\frac{3}{4}{\sum }_{n=81}^{125}[n^{\frac{4}{3}}-(n-1{)}^{\frac{4}{3}}]=\frac{3}{4}[125^{\frac{4}{3}}-80^{\frac{4}{3}}]$ $S>\frac{3}{4}[625-344.7]=\frac{3}{4}\times 280.3=210.225$。

右边放缩： $S<\frac{3}{4}{\sum }_{n=81}^{125}[(n+1{)}^{\frac{4}{3}}-n^{\frac{4}{3}}]=\frac{3}{4}[126^{\frac{4}{3}}-81^{\frac{4}{3}}]$ $S<\frac{3}{4}[631.7-350.5]=\frac{3}{4}\times 281.2=210.9$。

综上，$210.225<S<210.9$。 根据新定义 $\lceil x\rceil$ 为不小于 $x$ 的最小整数： 由于 $210<S<211$，不小于 $S$ 的最小整数为 $211$。 故 $\lceil S\rceil =211$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：伯努利不等式的导数证明及其在数列求和中的应用。

核心方法：“相邻项差放缩”。利用 $\frac{f(n+1)-f(n)}{(n+1)-n}$ 来夹逼 $f^{\prime }(n)$，这是微积分中拉格朗日中值定理在数列中的离散化应用。

避坑指南：- 第二问代换时要注意 $x$ 的范围及不等号方向。 - 第三问求和起始项为 81，放缩时左侧累加的最小项减 1 变为 80，右侧最大项加 1 变为 126，细节不可错。 - 认真读懂新定义，$\lceil S\rceil$ 与常见的 $[x]$（不大于 $x$ 的最大整数）方向相反。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：伯努利不等式的导数证明及其在数列求和中的应用。

结论推广：伯努利不等式 $(1+x{)}^{\alpha }\ge 1+\alpha x$（当 $\alpha \ge 1$ 或 $\alpha \le 0$ 时成立；当 $0<\alpha <1$ 时不等号反向）。

方法推广：对于 $\sum n^k$ 型求和，常用 ${\int }_{n-1}^n{x}^{k}dx<n^k<{\int }_n^{n+1}{x}^{k}dx$ 进行积分放缩，本题结论本质与此相同。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 05.02 函数的四大性质
• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2023-新高考II卷-06 单-导数单调性
• 2014-江西卷文-18 解-导数最值
• 2014-福建卷文-22 解-导数