2012-辽宁卷理-21 解-导数

本题导读

本题考查导数的几何意义。核心在于构造函数法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年辽宁卷(理)） 设 $f(x)=\ln (x+1)+\sqrt{x+1}+ax+b(a,b\in \mathbf{R},a,b\text{ 为常数})$，曲线 $y=f(x)$ 与直线 $y=\frac{3}{2}x$ 在 $(0,0)$ 点相切.

(1)求 $a,b$ 的值；

(2)证明：当 $0<x<2$ 时， $f(x)<\frac{9x}{x+6}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问利用切线几何意义锁定参数：

• 曲线与直线相切于点 $(0,0)$，表明该点既在直线上也在曲线上，故有 $f(0)=0$。
• 根据导数的几何意义，曲线在该点处的切线斜率等于直线的斜率，故有 $f^{\prime }(0)=\frac{3}{2}$。联立这两个代数方程即可求出 $a,b$。

2. 第二问构造函数证明不等式：

• 移项构造：将目标不等式转化为 $f(x)-\frac{9x}{x+6}<0$，构造辅助差函数 $F(x)=\ln (x+1)+\sqrt{x+1}-\frac{1}{2}x-1-\frac{9x}{x+6}$。
• 一阶求导并通分：对 $F(x)$ 求导，将其转化为包含分式与根式的组合代数式。由于一阶导数中既有分式、常数又有根式，直接判断正负号非常困难，需要通过多阶求导、或者通过换元、局部放缩来破局。
• 二阶求导或局部放缩判定单调性：对导数中难以判定正负的部分再次求导，找出其在 $(0,2)$ 上的单调性走势。最终由单调性结合端点值 $F(0)=0$ 顺利完成证明。

✅【答案】

点击查看答案

(1) $a=0$，$b=-1$

(2) 证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

（1）求 $a,b$ 的值

因为 曲线 $y=f(x)$ 与直线 $y=\frac{3}{2}x$ 在点 $(0,0)$ 处相切， 所以 点 $(0,0)$ 在曲线 $y=f(x)$ 上，可得： $f(0)=0⟹\ln (0+1)+\sqrt{0+1}+a\times 0+b=0$ $\ln 1+1+b=0⟹0+1+b=0⟹b=-1$

对原函数 $f(x)$ 进行求导运算： $f^{\prime }(x)=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{2\sqrt{x+1}}+a$

根据导数的几何意义，曲线在 $x=0$ 处的切线斜率等于已知直线的斜率 $\frac{3}{2}$，可得： $f^{\prime }(0)=\frac{3}{2}⟹\frac{1}{0+1}+\frac{1}{2\sqrt{0+1}}+a=\frac{3}{2}$ $1+\frac{1}{2}+a=\frac{3}{2}⟹\frac{3}{2}+a=\frac{3}{2}⟹a=0$

综上所述，参数的值为： $a=0,b=-1$

（2）证明：当 $0<x<2$ 时， $f(x)<\frac{9x}{x+6}$

由（1）可知，函数的完整解析式为： $f(x)=\ln (x+1)+\sqrt{x+1}-1$

要证当 $x\in (0,2)$ 时 $f(x)<\frac{9x}{x+6}$，等价于证明： $\ln (x+1)+\sqrt{x+1}-1-\frac{9x}{x+6}<0$

构造辅助函数： $F(x)=\ln (x+1)+\sqrt{x+1}-1-\frac{9x}{x+6},x\in [0,2]$ 对 $F(x)$ 进行求导： $F^{\prime }(x)=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{2\sqrt{x+1}}-\frac{9(x+6)-9x\times 1}{(x+6{)}^2}=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{2\sqrt{x+1}}-\frac{54}{(x+6{)}^2}$

为了全面消除复杂的根式对视线的干扰，进行局部换元： 令 $t=\sqrt{x+1}$。 因为 $x\in (0,2)$，所以 $t\in (1,\sqrt{3})$。 则有 $x+1=t^2⟹x=t^2-1$。 将自变量 $x$ 替换为参数 $t$，导函数 $F^{\prime }(x)$ 可改写为关于 $t$ 的新代数式 $G(t)$： $G(t)=\frac{1}{t^2}+\frac{1}{2t}-\frac{54}{(t^2+5{)}^2}=\frac{2+t}{2t^2}-\frac{54}{(t^2+5{)}^2}$

在区间 $t\in (1,\sqrt{3})$ 上，对 $G(t)$ 进行分段分析：

• 对于前项 $U(t)=\frac{2+t}{2t^2}=\frac{1}{t^2}+\frac{1}{2t}$： 因为 $t>1$，随着 $t$ 增大， $\frac{1}{t^2}$ 与 $\frac{1}{2t}$ 均严格单调递减。 所以 $U(t)$ 在 $(1,\sqrt{3})$ 上单调递减，其最大上限值在左端点取得： $U(t)<U(1)=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2\times 1}=\frac{3}{2}=1.5$

• 对于后项 $V(t)=\frac{54}{(t^2+5{)}^2}$： 因为 $t\in (1,\sqrt{3})⟹t^2\in (1,3)$， 所以 分母范围满足： $(1+5{)}^2<(t^2+5{)}^2<(3+5{)}^2⟹36<(t^2+5{)}^2<64$。 由此可确定后项的取值下界（即分母取最大值时）： $V(t)>\frac{54}{64}=\frac{27}{32}\approx 0.84375$ 以及在左端点附近的上界： $V(t)<\frac{54}{36}=\frac{3}{2}=1.5$

为了更精准地控制导数的符号，我们直接对 $G(t)$ 在其作用域内求导或采用更紧确的单调性结合： 由于 $G(t)=\frac{2+t}{2t^2}-\frac{54}{(t^2+5{)}^2}$，我们来校验其整体单调性： 前项求导： ${\left(\frac{1}{t^2}+\frac{1}{2t}\right)}^{\prime }=-\frac{2}{t^3}-\frac{1}{2t^2}<0$，严格递减。 后项 $-\frac{54}{(t^2+5{)}^2}$ 求导： $-54\times (-2)(t^2+5{)}^{-3}\times 2t=\frac{216t}{(t^2+5{)}^3}>0$，严格递增。 两项单调性一减一增，难以一眼看穿。此时我们直接回归到原始端点值的严密对齐： 当 $t=1$ （即 $x=0$ ）时： $G(1)=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}-\frac{54}{(1+5{)}^2}=\frac{3}{2}-\frac{54}{36}=\frac{3}{2}-\frac{3}{2}=0$ 即 $F^{\prime }(0)=0$。

下面证明当 $t>1$ 时，恒有 $G(t)<0$。 由于 $G(1)=0$，我们只需证明 $G(t)$ 在 $t>1$ 时是单调递减的，或者直接通过大结构放缩： 因为 $\ln (x+1)\le x$， $\sqrt{x+1}\le \frac{x+2}{2}$，这类常规放缩在区间靠右侧时不够精准（精细度不够，会导致符号方向翻转）。 我们来对 $G(t)$ 通分观察其分子多项式的根分布： $G(t)=\frac{(t+2)(t^2+5{)}^2-108t^2}{2t^2(t^2+5{)}^2}$ 只需分析分子函数 $P(t)=(t+2)(t^4+10t^2+25)-108t^2$ 的正负号： $P(t)=t^5+2t^4+10t^3+20t^2+25t+50-108t^2=t^5+2t^4+10t^3-88t^2+25t+50$ 因为 已经知道 $t=1$ 是其一个根（ $P(1)=1+2+10-88+25+50=0$ ）， 所以 $P(t)$ 必然包含因式 $(t-1)$。利用多项式除法（综合除法）对 $P(t)$ 进行因式分解： $P(t)=(t-1)(t^4+3t^3+13t^2-75t-50)$ 令后项多项式为 $H(t)=t^4+3t^3+13t^2-75t-50$。 测试端点值： $H(1)=1+3+13-75-50=-108<0$ $H(\sqrt{3})\approx 9+3\times 3\sqrt{3}+13\times 3-75\sqrt{3}-50=9+9\sqrt{3}+39-75\sqrt{3}-50=-2-66\sqrt{3}<0$ 对 $H(t)$ 进行连续求导分析单调性： $H^{\prime }(t)=4t^3+9t^2+26t-75$ 当 $t\in (1,\sqrt{3})$ 时，其最大值在 $t=\sqrt{3}\approx 1.732$ 处取得： $H^{\prime }(\sqrt{3})=4(3\sqrt{3})+9(3)+26\sqrt{3}-75=12\sqrt{3}+27+26\sqrt{3}-75=38\sqrt{3}-48\approx 38\times 1.732-48=65.8-48=17.8>0$ 由于 $H^{\prime }(1)=4+9+26-75=-36<0$，说明 $H^{\prime }(t)$ 先负后正， $H(t)$ 先减后增。 因为 $H(1)=-108<0$，且在右端点 $H(\sqrt{3})<0$，根据连续函数在闭区间段内两端皆为负、且至多有一个极小值的特征，可以断定： 在整个区间 $t\in (1,\sqrt{3})$ 上， $H(t)<0$ 恒成立。

再回到分子总式 $P(t)=(t-1)H(t)$：

• 因为 当 $t>1$ 时，因式 $(t-1)>0$；
• 且已证因式 $H(t)<0$； 所以 二者正负相乘，在区间内恒有： $P(t)<0⟹G(t)<0⟹F^{\prime }(x)<0$

由此严密逻辑链条可以推导得出，辅助函数 $F(x)$ 在自变量闭区间 $x\in [0,2]$ 上是严格单调递减的。 根据单调递减函数的性质，当 $x\in (0,2)$ 时，其函数值必然严格小于区间左端起点处的初始值： $F(x)<F(0)$

计算起点端的值： $F(0)=\ln (0+1)+\sqrt{0+1}-1-\frac{9\times 0}{0+6}=\ln 1+1-1-0=0$

因为 恒满足 $F(x)<0$，代数映射还原为原函数不等式，即： $\ln (x+1)+\sqrt{x+1}-1-\frac{9x}{x+6}<0⟹f(x)<\frac{9x}{x+6}$

证毕。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数切线方程的联立求解、局部整体换元（去根式化）、高次有理多项式的因式分解与区间保号性分析。
2. 核心方法：局部整体换元法与因式分解有界判定法。在第二问面对包含 $\sqrt{x+1}$ 的高维求导时，直接通分会引发极其混乱的无理分式。通过令 $t=\sqrt{x+1}$ 将其转换为纯有理多项式 $P(t)$，并利用已知零点 $t=1$ 提取出因式 $(t-1)$，是解答此类高难度导数大题的通用标准破题利器。
3. 避坑指南：

• 第二问由于求导后因式较为复杂，千万不要指望通过简单的宏观放缩（如 $\ln (x+1)<x$）一蹴而就。这种大跨度放缩在接近右端点 $x=2$ 时会因为精度严重丢失导致不等号方向直接发生翻转。必须老老实实通过换元后对多项式符号进行严密论证。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于人教A版高中数学选择性必修第二册第五章《一元函数的导数及其应用》中作为全卷终极压轴位置的导数与不等式综合性大题。
2. 结论推广：本题第二问的不等式右端项 $\frac{9x}{x+6}$，在高等数学中被称为对数函数与根式函数复合体的帕德逼近（Padé Approximant）。 对于通项函数 $\Phi (x)=\ln (x+1)+\sqrt{x+1}-1$，在原点附近进行标准泰勒级数展开： $\text{展开式}=\frac{3}{2}x-\frac{5}{8}{x}^2+\frac{7}{16}{x}^3-\cdots$ 而有理分式进行长除法展开： $\frac{9x}{x+6}=\frac{9x}{6(1+\frac{x}{6})}=\frac{3}{2}x\left(1-\frac{x}{6}+\frac{x^2}{36}-\cdots \right)=\frac{3}{2}x-\frac{1}{4}{x}^2+\frac{1}{24}{x}^3-\cdots$ 对比二者的前两项系数：因为原函数在二次项处的下坠速度（系数为 $-\frac{5}{8}=-0.625$ ）比有理分式的下坠速度（系数为 $-\frac{1}{4}=-0.25$ ）要快得多，所以从高等数学的宏观曲率视点来看，在正向右侧邻域内，原函数 $f(x)$ 必然会严格被有理分式曲线压制在正下方。高考试题正是通过高超的初等代数包装，精妙地考查了这一深刻的微积分局部逼近形变原理。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系 类题演练 (Links)

• 2013-天津卷文-20 解-分段函数导数切线

• 2013-湖北卷理-22 解-导数单调性与最值

• 2013-辽宁卷文-21 解-三角不等式与恒成立