2013-湖南卷文-06 单-函数图象交点

本题导读

本题考查函数与方程，以及对数函数的图象与性质。

📌【题干】

Question

（2013年湖南卷(文)） 函数 $f(x)=\ln x$ 的图象与函数 $g(x)=x^2-4x+4$ 的图象的交点个数为()

A. $0$　　　　　　　B. $1$　　　　　　　C. $2$　　　　　　　D. $3$

🔍【思路分析】

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1. $g(x)=(x-2{)}^2$，顶点 $(2,0)$，在 $(0,2)$ 递减、$(2,+\infty )$ 递增。
2. $f(x)=\ln x$ 过 $(1,0)$，恒增。
3. $x\to 0^{+}$ 时 $\ln x\to -\infty <(x-2{)}^2$；$x=1$ 时 $f=0>g(1)=1$ 不成立……对照走势：在 $(1,2)$ 内 $f>g$ 后 $g$ 降到 $0$、$f$ 继续增 → 一个交点在 $(0,1)$，一个在 $(2,+\infty )$；$x$ 很大时 $(x-2{)}^2$ 反超 $\ln x$ → 共 $2$ 个。

✅【答案】

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（C）

✍【详细解析】

Abstract

交点个数即方程 $\ln x=(x-2{)}^2$ 的根的个数（$x>0$）。 记 $h(x)=(x-2{)}^2-\ln x$，则 $h\acute{(}x)=2x-4-\frac{1}{x}=\frac{2x^2-4x-1}{x}$。 $2x^2-4x-1=0$ 在 $(0,+\infty )$ 内有一根 $x_0=\frac{2+\sqrt{6}}{2}>2$。 故 $h$ 在 $(0,x_0)$ 上递减、$(x_0,+\infty )$ 上递增，$h$ 至多两个零点。 $h(1)=1>0$，$h(2)=-\ln 2<0$ → $(1,2)$ 内一零点；$h(5)=9-\ln 5>0$，$h(4)=4-\ln 4>0$ 而 $h(3)=1-\ln 3<0$ → $(3,4)$ 内一零点。 又 $h(0^{+})\to +\infty$，$x>4$ 后 $h>0$ 不再变号。 综上恰有 $2$ 个交点。 选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：函数图象的交点个数

核心方法：$\ln x=(x-2{)}^2$：$g(x)=(x-2{)}^2$ 在 $x>0$ 上最小 $\to 0$、$\ln x$ 过 $(1,0)$ 单调增——数形结合得 2 个交点

避坑指南：把交点个数看成方程 $\ln x=(x-2{)}^2$ 的根的个数；$x>0$，$g(x)$ 在 $(0,2)$ 递减、$(2,+\infty )$ 递增，与 $\ln x$ 一增一减”穿插”出两交——只代值检验容易漏 $x>4$ 那一支。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：函数与方程（图象交点个数，数形结合，湖南卷选择题）。

结论推广：数形结合；单调性穿插分析。

方法推广：化方程 → 两侧函数单调性对比 → 定交点数。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 2013-福建卷文-05 单-对数函数图象
• 2014-新课标I卷文-12 单-三次函数零点
• 2014-浙江卷文-08 单-幂对函数图象