2013-湖南卷文-09 单-几何概型概率

本题导读

本题考查几何概型，以及解不等式组。

📌【题干】

Question

（2013年湖南卷(文)） 已知事件”在矩形 $ABCD$ 的边 $CD$ 上随机取一点 $P$，使 $△APB$ 的最大边是 $AB$“发生的概率为 $\frac{1}{2}$，则 $\frac{AD}{AB}=$()

A. $\frac{1}{2}$　　　　　　　B. $\frac{1}{4}$　　　　　　　C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$　　　　　　　D. $\frac{\sqrt{7}}{4}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建系：$A(0,0)$，$B(1,0)$，$D(0,d)$，$P(t,d)$，$t\in [0,1]$。
2. $A{P}^2=t^2+d^2$，$B{P}^2=(1-t{)}^2+d^2$。最大边是 $AB=1$ ⟺ 两式都 $⩽1$。
3. 解得 $t\in \left[1-\sqrt{1-d^2},\sqrt{1-d^2}\right]$，长度 $2\sqrt{1-d^2}-1$。
4. 概率 $2\sqrt{1-d^2}-1=\frac{1}{2}$ → $\sqrt{1-d^2}=\frac{3}{4}$ → $d^2=\frac{7}{16}$ → $d=\frac{\sqrt{7}}{4}$。

✅【答案】

点击查看答案

（D）

✍【详细解析】

Abstract

不妨设 $AB=1$，$AD=d$，建立坐标系：$A(0,0)$，$B(1,0)$，$C(1,d)$，$D(0,d)$，$P(t,d)$，$t\in [0,1]$。 $A{P}^2=t^2+d^2,B{P}^2=(1-t{)}^2+d^2,A{B}^2=1.$ $AB$ 是最大边 ⟺ $A{P}^2⩽1$ 且 $B{P}^2⩽1$，即 $t^2⩽1-d^2\text{且}(1-t{)}^2⩽1-d^2.$ 设 $\sqrt{1-d^2}=k$，则 $-k⩽t⩽k$ 且 $1-k⩽t⩽1+k$，交集为 $t\in \left[1-k,k\right](\text{要求 }k>\frac{1}{2}),$ 区间长度 $2k-1$。由几何概型： $2k-1=\frac{1}{2}\Rightarrow k=\frac{3}{4}\Rightarrow 1-d^2=\frac{9}{16}\Rightarrow d=\frac{\sqrt{7}}{4}.$ 故 $\frac{AD}{AB}=\frac{\sqrt{7}}{4}$。 选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：几何概型（最大边条件）

核心方法：设 $AB=1$，$AD=d$，$P=(t,d)$：$AB$ 为最大边 ⟺ $t^2+d^2⩽1$ 且 $(1-t{)}^2+d^2⩽1$ → $t\in \left[1-\sqrt{1-d^2},\sqrt{1-d^2}\right]$ → 概率 $2\sqrt{1-d^2}-1=\frac{1}{2}$ → $d=\frac{\sqrt{7}}{4}$

避坑指南：“最大边是 $AB$”= 两边同时不超过 $AB$，是两条不等式取交集——只写 $AP⩽AB$ 一条会得错解；解出 $t$ 区间长度后令概率等于 $\frac{1}{2}$，解出 $d$ 记得开方取正。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：几何概型与最值边（长度型，湖南卷选择题压轴）。

结论推广：坐标化解不等式组；区间长度比。

方法推广：建系设 $P$ → 列双边不等式 → 解区间 → 概率方程求 $d$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型

类题演练 (Links)

• 2014-湖南卷文-05 单-几何概型
• 2013-湖北卷文-15 填-几何概型长度
• 2014-重庆卷文-15 填-几何概型