2013-福建卷文-05 单-对数函数图象

本题导读

本题考查对数函数的图象与性质，以及函数图象的识别。

📌【题干】

Question

（2013年福建卷(文)） 函数 $f(x)=\ln (x^2+1)$ 的图象大致是()

A. 〔图〕　　　　B. 〔图〕　　　　C. 〔图〕　　　　D. 〔图〕

🔍【思路分析】

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1. $f(-x)=\ln ((-x{)}^2+1)=f(x)$，偶函数 → 图象关于 $y$ 轴对称。
2. $f(0)=\ln 1=0$，过原点；$x⩾0$ 时 $f(x)$ 递增且增速变缓。

✅【答案】

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（A）

✍【详细解析】

Abstract

定义域：$x^2+1⩾1>0$，$f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上有定义。 奇偶性：$f(-x)=\ln \left((-x{)}^2+1\right)=\ln (x^2+1)=f(x)$，$f(x)$ 为偶函数，图象关于 $y$ 轴对称，排除非对称选项。 又 $f(0)=\ln 1=0$，图象过原点；当 $x⩾0$ 时，$x^2+1$ 递增，$f(x)$ 递增，且随着 $x$ 增大，$f(x)=\ln (x^2+1)$ 的增长速度逐渐变慢（对数型缓增）。 符合这些特征的只有 A。 选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数型函数的图象识别

核心方法：$f(x)=\ln (x^2+1)$ 是偶函数（关于 $y$ 轴对称），$x⩾0$ 时递增且增速变缓

避坑指南：识别图象三板斧：奇偶性定对称、单调性定走势、特殊值定截距——本题 $f(0)=\ln 1=0$，图象应过原点；只看”递增”不看”对称”就会误选单侧增图。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：函数图象的识别（对数型复合函数，福建卷选择题图象题）。

结论推广：$\ln u$ 要求 $u>0$；$x^2+1⩾1$ 恒成立；偶函数满足 $f(-x)=f(x)$。

方法推广：先定奇偶性排除不对称选项 → 再用 $f(0)$ 与单调性锁定。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质
• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 2013-山东卷文-09 单-函数图象识别
• 2014-山东卷文-06 单-对数函数图象
• 2014-浙江卷文-08 单-幂对函数图象