2013-福建卷文-10 单-向量四边形面积

本题导读

本题考查平面向量的数量积，以及四边形的面积。

📌【题干】

Question

（2013年福建卷(文)） 在四边形 $ABCD$ 中，$\overrightarrow{AC}=(1,2)$，$\overrightarrow{BD}=(-4,2)$，则该四边形的面积为()

A. $\sqrt{5}$　　　　　　　B. $2\sqrt{5}$　　　　　　　C. $5$　　　　　　　D. $10$

🔍【思路分析】

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1. $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BD}=(1)(-4)+(2)(2)=0$ → 对角线垂直。
2. $|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$，$|\overrightarrow{BD}|=\sqrt{16+4}=2\sqrt{5}$。
3. $S=\frac{1}{2}\times \sqrt{5}\times 2\sqrt{5}=5$。

✅【答案】

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（C）

✍【详细解析】

Abstract

四边形 $ABCD$ 的两条对角线向量分别为 $\overrightarrow{AC}=(1,2)$ 与 $\overrightarrow{BD}=(-4,2)$。 先检验垂直： $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BD}=1\times (-4)+2\times 2=0,$ 所以对角线 $AC\perp BD$。 再算模长：$|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$|\overrightarrow{BD}|=\sqrt{(-4{)}^2+2^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。 对角线互相垂直的四边形，其面积等于对角线乘积的一半： $S=\frac{1}{2}\times \sqrt{5}\times 2\sqrt{5}=5.$ 选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对角线向量与四边形面积

核心方法：$\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BD}=1\times (-4)+2\times 2=0$ → 对角线互相垂直，$S=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{BD}|=\frac{1}{2}\sqrt{5}\cdot 2\sqrt{5}=5$

避坑指南：公式 $S=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{BD}|\sin ⟨\vec{a},\vec{b}⟩$ 别漏 $\sin$——本题垂直时 $\sin =1$ 恰好化简；数量积为零只说明对角线垂直，与四边形是不是菱形、正方形无关。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：平面向量的数量积与四边形面积（对角线向量给出，福建卷特色题）。

结论推广：四边形面积 $S=\frac{1}{2}{d}_1{d}_2\sin \theta$；对角线垂直的四边形面积 $=\frac{1}{2}$ 对角线乘积。

方法推广：识别 $\overrightarrow{AC}$、$\overrightarrow{BD}$ 是对角线 → 数量积验垂直 → 套对角线面积公式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 09.04 平面向量的坐标运算

类题演练 (Links)

• 2013-北京卷文-14 填-向量线性表示面积
• 2013-大纲卷文-03 单-向量垂直
• 2013-山东卷文-15 填-向量垂直求参